Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60001 / 41862
↖ ↑ ↗
← N 54.358157°
W 15.202332°		 ← 177.98 m → N 54.358157°
W 15.199585°		 →
↑
177.94 m
↓
↑
177.94 m
↓
N 54.356556°
W 15.202332°		 ← 177.98 m →
31 670 m²		 N 54.356556°
W 15.199585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457775115966797 y=0.319385528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457775115966797 × 217)
    floor (0.457775115966797 × 131072)
    floor (60001.5)     		tx = 60001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319385528564453 × 217)
    floor (0.319385528564453 × 131072)
    floor (41862.5)     		ty = 41862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60001 / 41862 ti = "17/60001/41862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60001/41862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60001 ÷ 217
    60001 ÷ 131072     		x = 0.457771301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41862 ÷ 217
    41862 ÷ 131072     		y = 0.319381713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457771301269531 × 2 - 1) × π
    -0.0844573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26533074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319381713867188 × 2 - 1) × π
    0.361236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13485816160521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26533074} λ = -0.26533074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13485816160521))-π/2
    2×atan(3.1107322903379)-π/2
    2×1.25976256888371-π/2
    2.51952513776743-1.57079632675     		φ = 0.94872881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26533074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.202332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94872881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.358157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60001 KachelY 41862 -0.26533074 0.94872881 -15.202332 54.358157
    Oben rechts KachelX + 1 60002 KachelY 41862 -0.26528280 0.94872881 -15.199585 54.358157
    Unten links KachelX 60001 KachelY + 1 41863 -0.26533074 0.94870088 -15.202332 54.356556
    Unten rechts KachelX + 1 60002 KachelY + 1 41863 -0.26528280 0.94870088 -15.199585 54.356556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94872881-0.94870088) × R
    2.79300000000093e-05 × 6371000     		dl = 177.942030000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94872881-0.94870088) × R
    2.79300000000093e-05 × 6371000     		dr = 177.942030000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26533074--0.26528280) × cos(0.94872881) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582716624863164 × 6371000     		do = 177.976656359224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26533074--0.26528280) × cos(0.94870088) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582739322660303 × 6371000     		du = 177.983588850711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94872881)-sin(0.94870088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582716624863164-0.582739322660303)×R²
    abs(-0.26528280--0.26533074)×2.26977971391484e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26977971391484e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26977971391484e-05×40589641000000     		ar = 31670.1443180147m²