Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60001 / 30119
↖ ↑ ↗
← N 69.249338°
W 15.202332°		 ← 108.21 m → N 69.249338°
W 15.199585°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.248366°
W 15.202332°		 ← 108.22 m →
11 707 m²		 N 69.248366°
W 15.199585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457775115966797 y=0.229793548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457775115966797 × 217)
    floor (0.457775115966797 × 131072)
    floor (60001.5)     		tx = 60001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229793548583984 × 217)
    floor (0.229793548583984 × 131072)
    floor (30119.5)     		ty = 30119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60001 / 30119 ti = "17/60001/30119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60001/30119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60001 ÷ 217
    60001 ÷ 131072     		x = 0.457771301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30119 ÷ 217
    30119 ÷ 131072     		y = 0.229789733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457771301269531 × 2 - 1) × π
    -0.0844573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26533074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229789733886719 × 2 - 1) × π
    0.540420532226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.69778117384353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26533074} λ = -0.26533074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69778117384353))-π/2
    2×atan(5.46181511875505)-π/2
    2×1.38971264392551-π/2
    2.77942528785102-1.57079632675     		φ = 1.20862896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26533074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.202332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20862896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.249338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60001 KachelY 30119 -0.26533074 1.20862896 -15.202332 69.249338
    Oben rechts KachelX + 1 60002 KachelY 30119 -0.26528280 1.20862896 -15.199585 69.249338
    Unten links KachelX 60001 KachelY + 1 30120 -0.26533074 1.20861198 -15.202332 69.248366
    Unten rechts KachelX + 1 60002 KachelY + 1 30120 -0.26528280 1.20861198 -15.199585 69.248366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20862896-1.20861198) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20862896-1.20861198) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26533074--0.26528280) × cos(1.20862896) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354301835986042 × 6371000     		do = 108.21290043945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26533074--0.26528280) × cos(1.20861198) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354317714461359 × 6371000     		du = 108.217750134524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20862896)-sin(1.20861198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354301835986042-0.354317714461359)×R²
    abs(-0.26528280--0.26533074)×1.58784753172547e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58784753172547e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58784753172547e-05×40589641000000     		ar = 11706.6884395518m²