Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60000 / 59816
↖ ↑ ↗
← S 81.446675°
E149.589844°		 ← 90.84 m → S 81.446675°
E149.595337°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
S 81.447492°
E149.589844°		 ← 90.83 m →
8 253 m²		 S 81.447492°
E149.595337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915534973144531 y=0.912727355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915534973144531 × 216)
    floor (0.915534973144531 × 65536)
    floor (60000.5)     		tx = 60000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912727355957031 × 216)
    floor (0.912727355957031 × 65536)
    floor (59816.5)     		ty = 59816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60000 / 59816 ti = "16/60000/59816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60000/59816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60000 ÷ 216
    60000 ÷ 65536     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59816 ÷ 216
    59816 ÷ 65536     		y = 0.9127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59319452184656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59319452184656))-π/2
    2×atan(0.074780769309684)-π/2
    2×0.074641839734239-π/2
    0.149283679468478-1.57079632675     		φ = -1.42151265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42151265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.446675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60000 KachelY 59816 2.61083530 -1.42151265 149.589844 -81.446675
    Oben rechts KachelX + 1 60001 KachelY 59816 2.61093117 -1.42151265 149.595337 -81.446675
    Unten links KachelX 60000 KachelY + 1 59817 2.61083530 -1.42152691 149.589844 -81.447492
    Unten rechts KachelX + 1 60001 KachelY + 1 59817 2.61093117 -1.42152691 149.595337 -81.447492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42151265--1.42152691) × R
    1.42600000001547e-05 × 6371000     		dl = 90.8504600009856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42151265--1.42152691) × R
    1.42600000001547e-05 × 6371000     		dr = 90.8504600009856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61093117) × cos(-1.42151265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148729814526745 × 6371000     		do = 90.8423517473019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61093117) × cos(-1.42152691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148715713113193 × 6371000     		du = 90.8337387763651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42151265)-sin(-1.42152691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148729814526745-0.148715713113193)×R²
    abs(2.61093117-2.61083530)×1.41014135513762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41014135513762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41014135513762e-05×40589641000000     		ar = 8252.67819765659m²