Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60000 / 59105
↖ ↑ ↗
← S 80.845776°
E149.589844°		 ← 97.17 m → S 80.845776°
E149.595337°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 80.846649°
E149.589844°		 ← 97.16 m →
9 441 m²		 S 80.846649°
E149.595337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915534973144531 y=0.901878356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915534973144531 × 216)
    floor (0.915534973144531 × 65536)
    floor (60000.5)     		tx = 60000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901878356933594 × 216)
    floor (0.901878356933594 × 65536)
    floor (59105.5)     		ty = 59105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60000 / 59105 ti = "16/60000/59105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60000/59105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60000 ÷ 216
    60000 ÷ 65536     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59105 ÷ 216
    59105 ÷ 65536     		y = 0.901870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901870727539062 × 2 - 1) × π
    -0.803741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52502825058684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52502825058684))-π/2
    2×atan(0.0800560511243499)-π/2
    2×0.0798856801424371-π/2
    0.159771360284874-1.57079632675     		φ = -1.41102497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41102497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.845776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60000 KachelY 59105 2.61083530 -1.41102497 149.589844 -80.845776
    Oben rechts KachelX + 1 60001 KachelY 59105 2.61093117 -1.41102497 149.595337 -80.845776
    Unten links KachelX 60000 KachelY + 1 59106 2.61083530 -1.41104022 149.589844 -80.846649
    Unten rechts KachelX + 1 60001 KachelY + 1 59106 2.61093117 -1.41104022 149.595337 -80.846649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41102497--1.41104022) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dl = 97.1577500008487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41102497--1.41104022) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dr = 97.1577500008487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61093117) × cos(-1.41102497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15909247964158 × 6371000     		do = 97.1717408640491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61093117) × cos(-1.41104022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159077423851891 × 6371000     		du = 97.1625449718393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41102497)-sin(-1.41104022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15909247964158-0.159077423851891)×R²
    abs(2.61093117-2.61083530)×1.50557896891057e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50557896891057e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50557896891057e-05×40589641000000     		ar = 9440.54097987521m²