Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60000 / 41892
↖ ↑ ↗
← N 54.310114°
W 15.205078°		 ← 178.18 m → N 54.310114°
W 15.202332°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
N 54.308512°
W 15.205078°		 ← 178.19 m →
31 741 m²		 N 54.308512°
W 15.202332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457767486572266 y=0.319614410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457767486572266 × 217)
    floor (0.457767486572266 × 131072)
    floor (60000.5)     		tx = 60000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319614410400391 × 217)
    floor (0.319614410400391 × 131072)
    floor (41892.5)     		ty = 41892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60000 / 41892 ti = "17/60000/41892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60000/41892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60000 ÷ 217
    60000 ÷ 131072     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41892 ÷ 217
    41892 ÷ 131072     		y = 0.319610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319610595703125 × 2 - 1) × π
    0.36077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13342005461661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13342005461661))-π/2
    2×atan(3.10626193968321)-π/2
    2×1.25934331956448-π/2
    2.51868663912895-1.57079632675     		φ = 0.94789031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94789031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.310114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60000 KachelY 41892 -0.26537868 0.94789031 -15.205078 54.310114
    Oben rechts KachelX + 1 60001 KachelY 41892 -0.26533074 0.94789031 -15.202332 54.310114
    Unten links KachelX 60000 KachelY + 1 41893 -0.26537868 0.94786235 -15.205078 54.308512
    Unten rechts KachelX + 1 60001 KachelY + 1 41893 -0.26533074 0.94786235 -15.202332 54.308512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94789031-0.94786235) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dl = 178.133160000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94789031-0.94786235) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dr = 178.133160000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26533074) × cos(0.94789031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583397848272506 × 6371000     		do = 178.184719522921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26533074) × cos(0.94786235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58342055677969 × 6371000     		du = 178.191655285532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94789031)-sin(0.94786235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583397848272506-0.58342055677969)×R²
    abs(-0.26533074--0.26537868)×2.27085071838884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27085071838884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27085071838884e-05×40589641000000     		ar = 31741.2248990846m²