Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60000 / 30115
↖ ↑ ↗
← N 69.253231°
W 15.205078°		 ← 108.19 m → N 69.253231°
W 15.202332°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.252258°
W 15.205078°		 ← 108.20 m →
11 705 m²		 N 69.252258°
W 15.202332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457767486572266 y=0.229763031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457767486572266 × 217)
    floor (0.457767486572266 × 131072)
    floor (60000.5)     		tx = 60000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229763031005859 × 217)
    floor (0.229763031005859 × 131072)
    floor (30115.5)     		ty = 30115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60000 / 30115 ti = "17/60000/30115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60000/30115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60000 ÷ 217
    60000 ÷ 131072     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30115 ÷ 217
    30115 ÷ 131072     		y = 0.229759216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229759216308594 × 2 - 1) × π
    0.540481567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.69797292144201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69797292144201))-π/2
    2×atan(5.46286250910149)-π/2
    2×1.38974660914325-π/2
    2.77949321828651-1.57079632675     		φ = 1.20869689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20869689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.253231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60000 KachelY 30115 -0.26537868 1.20869689 -15.205078 69.253231
    Oben rechts KachelX + 1 60001 KachelY 30115 -0.26533074 1.20869689 -15.202332 69.253231
    Unten links KachelX 60000 KachelY + 1 30116 -0.26537868 1.20867991 -15.205078 69.252258
    Unten rechts KachelX + 1 60001 KachelY + 1 30116 -0.26533074 1.20867991 -15.202332 69.252258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20869689-1.20867991) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dl = 108.179579998938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20869689-1.20867991) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dr = 108.179579998938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26533074) × cos(1.20869689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354238311711742 × 6371000     		do = 108.193498490839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26533074) × cos(1.20867991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354254190595702 × 6371000     		du = 108.198348310722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20869689)-sin(1.20867991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354238311711742-0.354254190595702)×R²
    abs(-0.26533074--0.26537868)×1.58788839595414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58788839595414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58788839595414e-05×40589641000000     		ar = 11704.5895513848m²