Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60000 / 30114
↖ ↑ ↗
← N 69.254203°
W 15.205078°		 ← 108.19 m → N 69.254203°
W 15.202332°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.253231°
W 15.205078°		 ← 108.19 m →
11 704 m²		 N 69.253231°
W 15.202332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457767486572266 y=0.229755401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457767486572266 × 217)
    floor (0.457767486572266 × 131072)
    floor (60000.5)     		tx = 60000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229755401611328 × 217)
    floor (0.229755401611328 × 131072)
    floor (30114.5)     		ty = 30114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60000 / 30114 ti = "17/60000/30114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60000/30114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60000 ÷ 217
    60000 ÷ 131072     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30114 ÷ 217
    30114 ÷ 131072     		y = 0.229751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229751586914062 × 2 - 1) × π
    0.540496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69802085834163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69802085834163))-π/2
    2×atan(5.46312438807001)-π/2
    2×1.38975509949611-π/2
    2.77951019899222-1.57079632675     		φ = 1.20871387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20871387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.254203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60000 KachelY 30114 -0.26537868 1.20871387 -15.205078 69.254203
    Oben rechts KachelX + 1 60001 KachelY 30114 -0.26533074 1.20871387 -15.202332 69.254203
    Unten links KachelX 60000 KachelY + 1 30115 -0.26537868 1.20869689 -15.205078 69.253231
    Unten rechts KachelX + 1 60001 KachelY + 1 30115 -0.26533074 1.20869689 -15.202332 69.253231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20871387-1.20869689) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20871387-1.20869689) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26533074) × cos(1.20871387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354222432725649 × 6371000     		do = 108.18864863976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26533074) × cos(1.20869689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354238311711742 × 6371000     		du = 108.193498490839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20871387)-sin(1.20869689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354222432725649-0.354238311711742)×R²
    abs(-0.26533074--0.26537868)×1.58789860938424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58789860938424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58789860938424e-05×40589641000000     		ar = 11704.0648984235m²