Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59998 / 59437
↖ ↑ ↗
← S 81.131405°
E149.578857°		 ← 94.17 m → S 81.131405°
E149.584351°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
S 81.132252°
E149.578857°		 ← 94.17 m →
8 867 m²		 S 81.132252°
E149.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915504455566406 y=0.906944274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915504455566406 × 216)
    floor (0.915504455566406 × 65536)
    floor (59998.5)     		tx = 59998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906944274902344 × 216)
    floor (0.906944274902344 × 65536)
    floor (59437.5)     		ty = 59437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59998 / 59437 ti = "16/59998/59437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59998/59437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59998 ÷ 216
    59998 ÷ 65536     		x = 0.915496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59437 ÷ 216
    59437 ÷ 65536     		y = 0.906936645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915496826171875 × 2 - 1) × π
    0.83099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61064355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906936645507812 × 2 - 1) × π
    -0.813873291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55685835193455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61064355} λ = 2.61064355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55685835193455))-π/2
    2×atan(0.0775479866284477)-π/2
    2×0.0773930952701875-π/2
    0.154786190540375-1.57079632675     		φ = -1.41601014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61064355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41601014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.131405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59998 KachelY 59437 2.61064355 -1.41601014 149.578857 -81.131405
    Oben rechts KachelX + 1 59999 KachelY 59437 2.61073943 -1.41601014 149.584351 -81.131405
    Unten links KachelX 59998 KachelY + 1 59438 2.61064355 -1.41602492 149.578857 -81.132252
    Unten rechts KachelX + 1 59999 KachelY + 1 59438 2.61073943 -1.41602492 149.584351 -81.132252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41601014--1.41602492) × R
    1.4779999999881e-05 × 6371000     		dl = 94.1633799992418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41601014--1.41602492) × R
    1.4779999999881e-05 × 6371000     		dr = 94.1633799992418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61064355-2.61073943) × cos(-1.41601014) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.154168845851852 × 6371000     		do = 94.1742676588701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61064355-2.61073943) × cos(-1.41602492) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.154154242537057 × 6371000     		du = 94.1653472024146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41601014)-sin(-1.41602492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154168845851852-0.154154242537057)×R²
    abs(2.61073943-2.61064355)×1.46033147950531e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.46033147950531e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.46033147950531e-05×40589641000000     		ar = 8867.34736181067m²