Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59998 / 41564
↖ ↑ ↗
← N 54.832337°
W 15.210571°		 ← 175.92 m → N 54.832337°
W 15.207825°		 →
↑
175.97 m
↓
↑
175.97 m
↓
N 54.830754°
W 15.210571°		 ← 175.92 m →
30 956 m²		 N 54.830754°
W 15.207825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457752227783203 y=0.317111968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457752227783203 × 217)
    floor (0.457752227783203 × 131072)
    floor (59998.5)     		tx = 59998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317111968994141 × 217)
    floor (0.317111968994141 × 131072)
    floor (41564.5)     		ty = 41564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59998 / 41564 ti = "17/59998/41564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59998/41564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59998 ÷ 217
    59998 ÷ 131072     		x = 0.457748413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41564 ÷ 217
    41564 ÷ 131072     		y = 0.317108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457748413085938 × 2 - 1) × π
    -0.084503173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26547455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317108154296875 × 2 - 1) × π
    0.36578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14914335769199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26547455} λ = -0.26547455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14914335769199))-π/2
    2×atan(3.15548862649353)-π/2
    2×1.26390056590309-π/2
    2.52780113180617-1.57079632675     		φ = 0.95700481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26547455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.210571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95700481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.832337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59998 KachelY 41564 -0.26547455 0.95700481 -15.210571 54.832337
    Oben rechts KachelX + 1 59999 KachelY 41564 -0.26542661 0.95700481 -15.207825 54.832337
    Unten links KachelX 59998 KachelY + 1 41565 -0.26547455 0.95697719 -15.210571 54.830754
    Unten rechts KachelX + 1 59999 KachelY + 1 41565 -0.26542661 0.95697719 -15.207825 54.830754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95700481-0.95697719) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dl = 175.967020000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95700481-0.95697719) × R
    2.7620000000006e-05 × 6371000     		dr = 175.967020000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26547455--0.26542661) × cos(0.95700481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575971044228504 × 6371000     		do = 175.916382401948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26547455--0.26542661) × cos(0.95697719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57599362253283 × 6371000     		du = 175.923278397255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95700481)-sin(0.95697719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575971044228504-0.57599362253283)×R²
    abs(-0.26542661--0.26547455)×2.25783043269479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25783043269479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25783043269479e-05×40589641000000     		ar = 30956.0883163842m²