Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59997 / 82325
↖ ↑ ↗
← S 41.814314°
W 15.213318°		 ← 227.64 m → S 41.814314°
W 15.210571°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
S 41.816361°
W 15.213318°		 ← 227.63 m →
51 803 m²		 S 41.816361°
W 15.210571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457744598388672 y=0.628093719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457744598388672 × 217)
    floor (0.457744598388672 × 131072)
    floor (59997.5)     		tx = 59997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628093719482422 × 217)
    floor (0.628093719482422 × 131072)
    floor (82325.5)     		ty = 82325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59997 / 82325 ti = "17/59997/82325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59997/82325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59997 ÷ 217
    59997 ÷ 131072     		x = 0.457740783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82325 ÷ 217
    82325 ÷ 131072     		y = 0.628089904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457740783691406 × 2 - 1) × π
    -0.0845184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26552249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628089904785156 × 2 - 1) × π
    -0.256179809570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.804812607721123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26552249} λ = -0.26552249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804812607721123))-π/2
    2×atan(0.447171715235203)-π/2
    2×0.420499434518624-π/2
    0.840998869037249-1.57079632675     		φ = -0.72979746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26552249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.213318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72979746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.814314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59997 KachelY 82325 -0.26552249 -0.72979746 -15.213318 -41.814314
    Oben rechts KachelX + 1 59998 KachelY 82325 -0.26547455 -0.72979746 -15.210571 -41.814314
    Unten links KachelX 59997 KachelY + 1 82326 -0.26552249 -0.72983318 -15.213318 -41.816361
    Unten rechts KachelX + 1 59998 KachelY + 1 82326 -0.26547455 -0.72983318 -15.210571 -41.816361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72979746--0.72983318) × R
    3.57199999999613e-05 × 6371000     		dl = 227.572119999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72979746--0.72983318) × R
    3.57199999999613e-05 × 6371000     		dr = 227.572119999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26552249--0.26547455) × cos(-0.72979746) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.74530945483538 × 6371000     		do = 227.636691772207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26552249--0.26547455) × cos(-0.72983318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.745285639168169 × 6371000     		du = 227.629417854425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72979746)-sin(-0.72983318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74530945483538-0.745285639168169)×R²
    abs(-0.26547455--0.26552249)×2.38156672109913e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38156672109913e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38156672109913e-05×40589641000000     		ar = 51802.9368715266m²