Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59997 / 59463
↖ ↑ ↗
← S 81.153396°
E149.573364°		 ← 93.93 m → S 81.153396°
E149.578857°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
S 81.154241°
E149.573364°		 ← 93.92 m →
8 827 m²		 S 81.154241°
E149.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915489196777344 y=0.907341003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915489196777344 × 216)
    floor (0.915489196777344 × 65536)
    floor (59997.5)     		tx = 59997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907341003417969 × 216)
    floor (0.907341003417969 × 65536)
    floor (59463.5)     		ty = 59463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59997 / 59463 ti = "16/59997/59463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59997/59463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59997 ÷ 216
    59997 ÷ 65536     		x = 0.915481567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59463 ÷ 216
    59463 ÷ 65536     		y = 0.907333374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915481567382812 × 2 - 1) × π
    0.830963134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61054768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907333374023438 × 2 - 1) × π
    -0.814666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5593510707148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61054768} λ = 2.61054768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5593510707148))-π/2
    2×atan(0.0773549220336491)-π/2
    2×0.0772011819119638-π/2
    0.154402363823928-1.57079632675     		φ = -1.41639396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61054768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41639396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.153396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59997 KachelY 59463 2.61054768 -1.41639396 149.573364 -81.153396
    Oben rechts KachelX + 1 59998 KachelY 59463 2.61064355 -1.41639396 149.578857 -81.153396
    Unten links KachelX 59997 KachelY + 1 59464 2.61054768 -1.41640871 149.573364 -81.154241
    Unten rechts KachelX + 1 59998 KachelY + 1 59464 2.61064355 -1.41640871 149.578857 -81.154241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41639396--1.41640871) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41639396--1.41640871) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61054768-2.61064355) × cos(-1.41639396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153789603258859 × 6371000     		do = 93.9328088236612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61054768-2.61064355) × cos(-1.41640871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153775028713779 × 6371000     		du = 93.9239068697732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41639396)-sin(-1.41640871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153789603258859-0.153775028713779)×R²
    abs(2.61064355-2.61054768)×1.45745450797208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45745450797208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45745450797208e-05×40589641000000     		ar = 8826.65912579998m²