Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59996 / 82645
↖ ↑ ↗
← S 42.466019°
W 15.216064°		 ← 225.26 m → S 42.466019°
W 15.213318°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 42.468045°
W 15.216064°		 ← 225.25 m →
50 745 m²		 S 42.468045°
W 15.213318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457736968994141 y=0.630535125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457736968994141 × 217)
    floor (0.457736968994141 × 131072)
    floor (59996.5)     		tx = 59996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630535125732422 × 217)
    floor (0.630535125732422 × 131072)
    floor (82645.5)     		ty = 82645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59996 / 82645 ti = "17/59996/82645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59996/82645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59996 ÷ 217
    59996 ÷ 131072     		x = 0.457733154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82645 ÷ 217
    82645 ÷ 131072     		y = 0.630531311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.08453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26557042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630531311035156 × 2 - 1) × π
    -0.261062622070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.820152415599541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26557042} λ = -0.26557042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820152415599541))-π/2
    2×atan(0.440364530966788)-π/2
    2×0.414812238171486-π/2
    0.829624476342972-1.57079632675     		φ = -0.74117185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26557042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.216064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74117185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.466019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59996 KachelY 82645 -0.26557042 -0.74117185 -15.216064 -42.466019
    Oben rechts KachelX + 1 59997 KachelY 82645 -0.26552249 -0.74117185 -15.213318 -42.466019
    Unten links KachelX 59996 KachelY + 1 82646 -0.26557042 -0.74120721 -15.216064 -42.468045
    Unten rechts KachelX + 1 59997 KachelY + 1 82646 -0.26552249 -0.74120721 -15.213318 -42.468045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74117185--0.74120721) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74117185--0.74120721) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26557042--0.26552249) × cos(-0.74117185) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.737677887576767 × 6371000     		do = 225.25881723643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26557042--0.26552249) × cos(-0.74120721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.737654013711786 × 6371000     		du = 225.251527064556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74117185)-sin(-0.74120721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737677887576767-0.737654013711786)×R²
    abs(-0.26552249--0.26557042)×2.38738649807058e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38738649807058e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38738649807058e-05×40589641000000     		ar = 50745.1608201222m²