Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59994 / 82631
↖ ↑ ↗
← S 42.437647°
W 15.221558°		 ← 225.41 m → S 42.437647°
W 15.218811°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.439674°
W 15.221558°		 ← 225.40 m →
50 807 m²		 S 42.439674°
W 15.218811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457721710205078 y=0.630428314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457721710205078 × 217)
    floor (0.457721710205078 × 131072)
    floor (59994.5)     		tx = 59994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630428314208984 × 217)
    floor (0.630428314208984 × 131072)
    floor (82631.5)     		ty = 82631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59994 / 82631 ti = "17/59994/82631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59994/82631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59994 ÷ 217
    59994 ÷ 131072     		x = 0.457717895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82631 ÷ 217
    82631 ÷ 131072     		y = 0.630424499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457717895507812 × 2 - 1) × π
    -0.084564208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26566630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630424499511719 × 2 - 1) × π
    -0.260848999023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.81948129900486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26566630} λ = -0.26566630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81948129900486))-π/2
    2×atan(0.440660166102956)-π/2
    2×0.415059828185267-π/2
    0.830119656370533-1.57079632675     		φ = -0.74067667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26566630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.221558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74067667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.437647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59994 KachelY 82631 -0.26566630 -0.74067667 -15.221558 -42.437647
    Oben rechts KachelX + 1 59995 KachelY 82631 -0.26561836 -0.74067667 -15.218811 -42.437647
    Unten links KachelX 59994 KachelY + 1 82632 -0.26566630 -0.74071205 -15.221558 -42.439674
    Unten rechts KachelX + 1 59995 KachelY + 1 82632 -0.26561836 -0.74071205 -15.218811 -42.439674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74067667--0.74071205) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74067667--0.74071205) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26566630--0.26561836) × cos(-0.74067667) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738012119297416 × 6371000     		do = 225.407897665495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26566630--0.26561836) × cos(-0.74071205) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.7379882448553 × 6371000     		du = 225.400605796344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74067667)-sin(-0.74071205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738012119297416-0.7379882448553)×R²
    abs(-0.26561836--0.26566630)×2.38744421156012e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38744421156012e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38744421156012e-05×40589641000000     		ar = 50807.46626274m²