Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59994 / 59434
↖ ↑ ↗
← S 81.128864°
E149.556885°		 ← 94.19 m → S 81.128864°
E149.562378°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
S 81.129711°
E149.556885°		 ← 94.18 m →
8 869 m²		 S 81.129711°
E149.562378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915443420410156 y=0.906898498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915443420410156 × 216)
    floor (0.915443420410156 × 65536)
    floor (59994.5)     		tx = 59994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906898498535156 × 216)
    floor (0.906898498535156 × 65536)
    floor (59434.5)     		ty = 59434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59994 / 59434 ti = "16/59994/59434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59994/59434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59994 ÷ 216
    59994 ÷ 65536     		x = 0.915435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59434 ÷ 216
    59434 ÷ 65536     		y = 0.906890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915435791015625 × 2 - 1) × π
    0.83087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61026006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.81378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55657073053683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61026006} λ = 2.61026006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55657073053683))-π/2
    2×atan(0.0775702942966797)-π/2
    2×0.0774152695508016-π/2
    0.154830539101603-1.57079632675     		φ = -1.41596579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61026006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41596579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.128864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59994 KachelY 59434 2.61026006 -1.41596579 149.556885 -81.128864
    Oben rechts KachelX + 1 59995 KachelY 59434 2.61035593 -1.41596579 149.562378 -81.128864
    Unten links KachelX 59994 KachelY + 1 59435 2.61026006 -1.41598057 149.556885 -81.129711
    Unten rechts KachelX + 1 59995 KachelY + 1 59435 2.61035593 -1.41598057 149.562378 -81.129711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41596579--1.41598057) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dl = 94.1633800006565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41596579--1.41598057) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dr = 94.1633800006565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61026006-2.61035593) × cos(-1.41596579) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154212665474534 × 6371000     		do = 94.1912100509445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61026006-2.61035593) × cos(-1.41598057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154198062260805 × 6371000     		du = 94.1822905865961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41596579)-sin(-1.41598057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154212665474534-0.154198062260805)×R²
    abs(2.61035593-2.61026006)×1.46032137290919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46032137290919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46032137290919e-05×40589641000000     		ar = 8868.94276161265m²