Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59993 / 59674
↖ ↑ ↗
← S 81.329877°
E149.551391°		 ← 92.08 m → S 81.329877°
E149.556885°		 →
↑
92.06 m
↓
↑
92.06 m
↓
S 81.330705°
E149.551391°		 ← 92.07 m →
8 477 m²		 S 81.330705°
E149.556885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915428161621094 y=0.910560607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915428161621094 × 216)
    floor (0.915428161621094 × 65536)
    floor (59993.5)     		tx = 59993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910560607910156 × 216)
    floor (0.910560607910156 × 65536)
    floor (59674.5)     		ty = 59674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59993 / 59674 ti = "16/59993/59674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59993/59674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59993 ÷ 216
    59993 ÷ 65536     		x = 0.915420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59674 ÷ 216
    59674 ÷ 65536     		y = 0.910552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915420532226562 × 2 - 1) × π
    0.830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61016418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910552978515625 × 2 - 1) × π
    -0.82110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57958044235446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61016418} λ = 2.61016418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57958044235446))-π/2
    2×atan(0.0758058022556957)-π/2
    2×0.0756610943581537-π/2
    0.151322188716307-1.57079632675     		φ = -1.41947414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61016418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41947414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.329877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59993 KachelY 59674 2.61016418 -1.41947414 149.551391 -81.329877
    Oben rechts KachelX + 1 59994 KachelY 59674 2.61026006 -1.41947414 149.556885 -81.329877
    Unten links KachelX 59993 KachelY + 1 59675 2.61016418 -1.41948859 149.551391 -81.330705
    Unten rechts KachelX + 1 59994 KachelY + 1 59675 2.61026006 -1.41948859 149.556885 -81.330705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41947414--1.41948859) × R
    1.44500000001102e-05 × 6371000     		dl = 92.0609500007021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41947414--1.41948859) × R
    1.44500000001102e-05 × 6371000     		dr = 92.0609500007021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61016418-2.61026006) × cos(-1.41947414) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150745341532909 × 6371000     		do = 92.0830149784224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61016418-2.61026006) × cos(-1.41948859) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150731056642688 × 6371000     		du = 92.0742890320894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41947414)-sin(-1.41948859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150745341532909-0.150731056642688)×R²
    abs(2.61026006-2.61016418)×1.42848902207893e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42848902207893e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42848902207893e-05×40589641000000     		ar = 8476.84817862454m²