Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59993 / 59435
↖ ↑ ↗
← S 81.129711°
E149.551391°		 ← 94.19 m → S 81.129711°
E149.556885°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
S 81.130557°
E149.551391°		 ← 94.18 m →
8 869 m²		 S 81.130557°
E149.556885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915428161621094 y=0.906913757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915428161621094 × 216)
    floor (0.915428161621094 × 65536)
    floor (59993.5)     		tx = 59993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906913757324219 × 216)
    floor (0.906913757324219 × 65536)
    floor (59435.5)     		ty = 59435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59993 / 59435 ti = "16/59993/59435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59993/59435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59993 ÷ 216
    59993 ÷ 65536     		x = 0.915420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59435 ÷ 216
    59435 ÷ 65536     		y = 0.906906127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915420532226562 × 2 - 1) × π
    0.830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61016418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.813812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55666660433607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61016418} λ = 2.61016418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55666660433607))-π/2
    2×atan(0.0775628576943507)-π/2
    2×0.0774078774237498-π/2
    0.1548157548475-1.57079632675     		φ = -1.41598057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61016418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41598057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.129711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59993 KachelY 59435 2.61016418 -1.41598057 149.551391 -81.129711
    Oben rechts KachelX + 1 59994 KachelY 59435 2.61026006 -1.41598057 149.556885 -81.129711
    Unten links KachelX 59993 KachelY + 1 59436 2.61016418 -1.41599535 149.551391 -81.130557
    Unten rechts KachelX + 1 59994 KachelY + 1 59436 2.61026006 -1.41599535 149.556885 -81.130557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41598057--1.41599535) × R
    1.4779999999881e-05 × 6371000     		dl = 94.1633799992418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41598057--1.41599535) × R
    1.4779999999881e-05 × 6371000     		dr = 94.1633799992418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61016418-2.61026006) × cos(-1.41598057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154198062260805 × 6371000     		do = 94.1921145450831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61016418-2.61026006) × cos(-1.41599535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154183459013392 × 6371000     		du = 94.1831941297879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41598057)-sin(-1.41599535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154198062260805-0.154183459013392)×R²
    abs(2.61026006-2.61016418)×1.4603247413203e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4603247413203e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4603247413203e-05×40589641000000     		ar = 8869.02788688739m²