Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59992 / 59449
↖ ↑ ↗
← S 81.141561°
E149.545898°		 ← 94.06 m → S 81.141561°
E149.551391°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
S 81.142407°
E149.545898°		 ← 94.05 m →
8 850 m²		 S 81.142407°
E149.551391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915412902832031 y=0.907127380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915412902832031 × 216)
    floor (0.915412902832031 × 65536)
    floor (59992.5)     		tx = 59992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907127380371094 × 216)
    floor (0.907127380371094 × 65536)
    floor (59449.5)     		ty = 59449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59992 / 59449 ti = "16/59992/59449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59992/59449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59992 ÷ 216
    59992 ÷ 65536     		x = 0.9154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59449 ÷ 216
    59449 ÷ 65536     		y = 0.907119750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    0.830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61006831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907119750976562 × 2 - 1) × π
    -0.814239501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55800883752544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61006831} λ = 2.61006831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55800883752544))-π/2
    2×atan(0.0774588200894741)-π/2
    2×0.0773044611367923-π/2
    0.154608922273585-1.57079632675     		φ = -1.41618740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61006831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41618740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.141561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59992 KachelY 59449 2.61006831 -1.41618740 149.545898 -81.141561
    Oben rechts KachelX + 1 59993 KachelY 59449 2.61016418 -1.41618740 149.551391 -81.141561
    Unten links KachelX 59992 KachelY + 1 59450 2.61006831 -1.41620217 149.545898 -81.142407
    Unten rechts KachelX + 1 59993 KachelY + 1 59450 2.61016418 -1.41620217 149.551391 -81.142407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41618740--1.41620217) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41618740--1.41620217) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61006831-2.61016418) × cos(-1.41618740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153993702659662 × 6371000     		do = 94.057470241536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61006831-2.61016418) × cos(-1.41620217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153979108821949 × 6371000     		du = 94.0485565039436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41618740)-sin(-1.41620217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153993702659662-0.153979108821949)×R²
    abs(2.61016418-2.61006831)×1.45938377129062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45938377129062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45938377129062e-05×40589641000000     		ar = 8850.35752068349m²