Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59991 / 82601
↖ ↑ ↗
← S 42.376808°
W 15.229797°		 ← 225.63 m → S 42.376808°
W 15.227051°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
S 42.378836°
W 15.229797°		 ← 225.62 m →
50 900 m²		 S 42.378836°
W 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457698822021484 y=0.630199432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457698822021484 × 217)
    floor (0.457698822021484 × 131072)
    floor (59991.5)     		tx = 59991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630199432373047 × 217)
    floor (0.630199432373047 × 131072)
    floor (82601.5)     		ty = 82601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59991 / 82601 ti = "17/59991/82601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59991/82601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59991 ÷ 217
    59991 ÷ 131072     		x = 0.457695007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82601 ÷ 217
    82601 ÷ 131072     		y = 0.630195617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457695007324219 × 2 - 1) × π
    -0.0846099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26581011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630195617675781 × 2 - 1) × π
    -0.260391235351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.818043192016258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26581011} λ = -0.26581011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818043192016258))-π/2
    2×atan(0.44129433846198)-π/2
    2×0.415590755847409-π/2
    0.831181511694818-1.57079632675     		φ = -0.73961482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26581011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.229797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73961482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59991 KachelY 82601 -0.26581011 -0.73961482 -15.229797 -42.376808
    Oben rechts KachelX + 1 59992 KachelY 82601 -0.26576217 -0.73961482 -15.227051 -42.376808
    Unten links KachelX 59991 KachelY + 1 82602 -0.26581011 -0.73965023 -15.229797 -42.378836
    Unten rechts KachelX + 1 59992 KachelY + 1 82602 -0.26576217 -0.73965023 -15.227051 -42.378836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73961482--0.73965023) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73961482--0.73965023) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26581011--0.26576217) × cos(-0.73961482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738728226160028 × 6371000     		do = 225.626615133666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26581011--0.26576217) × cos(-0.73965023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738704359235858 × 6371000     		du = 225.61932556069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73961482)-sin(-0.73965023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738728226160028-0.738704359235858)×R²
    abs(-0.26576217--0.26581011)×2.3866924170779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3866924170779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3866924170779e-05×40589641000000     		ar = 50899.8900651843m²