Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59991 / 59758
↖ ↑ ↗
← S 81.399159°
E149.540405°		 ← 91.34 m → S 81.399159°
E149.545898°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
S 81.399980°
E149.540405°		 ← 91.33 m →
8 345 m²		 S 81.399980°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915397644042969 y=0.911842346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915397644042969 × 216)
    floor (0.915397644042969 × 65536)
    floor (59991.5)     		tx = 59991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911842346191406 × 216)
    floor (0.911842346191406 × 65536)
    floor (59758.5)     		ty = 59758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59991 / 59758 ti = "16/59991/59758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59991/59758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59991 ÷ 216
    59991 ÷ 65536     		x = 0.915390014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59758 ÷ 216
    59758 ÷ 65536     		y = 0.911834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915390014648438 × 2 - 1) × π
    0.830780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60997244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911834716796875 × 2 - 1) × π
    -0.82366943359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58763384149063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60997244} λ = 2.60997244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58763384149063))-π/2
    2×atan(0.0751977595648608)-π/2
    2×0.0750564981973777-π/2
    0.150112996394755-1.57079632675     		φ = -1.42068333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60997244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42068333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.399159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59991 KachelY 59758 2.60997244 -1.42068333 149.540405 -81.399159
    Oben rechts KachelX + 1 59992 KachelY 59758 2.61006831 -1.42068333 149.545898 -81.399159
    Unten links KachelX 59991 KachelY + 1 59759 2.60997244 -1.42069767 149.540405 -81.399980
    Unten rechts KachelX + 1 59992 KachelY + 1 59759 2.61006831 -1.42069767 149.545898 -81.399980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42068333--1.42069767) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42068333--1.42069767) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60997244-2.61006831) × cos(-1.42068333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149549859482021 × 6371000     		do = 91.343225176835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60997244-2.61006831) × cos(-1.42069767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149535680731624 × 6371000     		du = 91.3345649694984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42068333)-sin(-1.42069767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149549859482021-0.149535680731624)×R²
    abs(2.61006831-2.60997244)×1.41787503974145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41787503974145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41787503974145e-05×40589641000000     		ar = 8344.73424143835m²