Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59991 / 59643
↖ ↑ ↗
← S 81.304169°
E149.540405°		 ← 92.34 m → S 81.304169°
E149.545898°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 81.305000°
E149.540405°		 ← 92.34 m →
8 530 m²		 S 81.305000°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915397644042969 y=0.910087585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915397644042969 × 216)
    floor (0.915397644042969 × 65536)
    floor (59991.5)     		tx = 59991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910087585449219 × 216)
    floor (0.910087585449219 × 65536)
    floor (59643.5)     		ty = 59643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59991 / 59643 ti = "16/59991/59643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59991/59643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59991 ÷ 216
    59991 ÷ 65536     		x = 0.915390014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59643 ÷ 216
    59643 ÷ 65536     		y = 0.910079956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915390014648438 × 2 - 1) × π
    0.830780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60997244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910079956054688 × 2 - 1) × π
    -0.820159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57660835457802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60997244} λ = 2.60997244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57660835457802))-π/2
    2×atan(0.0760314388938173)-π/2
    2×0.0758854379602706-π/2
    0.151770875920541-1.57079632675     		φ = -1.41902545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60997244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41902545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.304169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59991 KachelY 59643 2.60997244 -1.41902545 149.540405 -81.304169
    Oben rechts KachelX + 1 59992 KachelY 59643 2.61006831 -1.41902545 149.545898 -81.304169
    Unten links KachelX 59991 KachelY + 1 59644 2.60997244 -1.41903995 149.540405 -81.305000
    Unten rechts KachelX + 1 59992 KachelY + 1 59644 2.61006831 -1.41903995 149.545898 -81.305000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41902545--1.41903995) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41902545--1.41903995) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60997244-2.61006831) × cos(-1.41902545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151188888996519 × 6371000     		do = 92.3443243589594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60997244-2.61006831) × cos(-1.41903995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151174555659704 × 6371000     		du = 92.3355697321295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41902545)-sin(-1.41903995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151188888996519-0.151174555659704)×R²
    abs(2.61006831-2.60997244)×1.43333368150533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43333368150533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43333368150533e-05×40589641000000     		ar = 8530.31813855991m²