Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59991 / 41521
↖ ↑ ↗
← N 54.900303°
W 15.229797°		 ← 175.62 m → N 54.900303°
W 15.227051°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 54.898723°
W 15.229797°		 ← 175.63 m →
30 848 m²		 N 54.898723°
W 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457698822021484 y=0.316783905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457698822021484 × 217)
    floor (0.457698822021484 × 131072)
    floor (59991.5)     		tx = 59991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316783905029297 × 217)
    floor (0.316783905029297 × 131072)
    floor (41521.5)     		ty = 41521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59991 / 41521 ti = "17/59991/41521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59991/41521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59991 ÷ 217
    59991 ÷ 131072     		x = 0.457695007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41521 ÷ 217
    41521 ÷ 131072     		y = 0.316780090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457695007324219 × 2 - 1) × π
    -0.0846099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26581011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316780090332031 × 2 - 1) × π
    0.366439819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.15120464437565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26581011} λ = -0.26581011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15120464437565))-π/2
    2×atan(3.16199970147043)-π/2
    2×1.26449368663335-π/2
    2.5289873732667-1.57079632675     		φ = 0.95819105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26581011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.229797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95819105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.900303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59991 KachelY 41521 -0.26581011 0.95819105 -15.229797 54.900303
    Oben rechts KachelX + 1 59992 KachelY 41521 -0.26576217 0.95819105 -15.227051 54.900303
    Unten links KachelX 59991 KachelY + 1 41522 -0.26581011 0.95816348 -15.229797 54.898723
    Unten rechts KachelX + 1 59992 KachelY + 1 41522 -0.26576217 0.95816348 -15.227051 54.898723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95819105-0.95816348) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95819105-0.95816348) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26581011--0.26576217) × cos(0.95819105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575000923487245 × 6371000     		do = 175.62008255666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26581011--0.26576217) × cos(0.95816348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575023479740293 × 6371000     		du = 175.626971816939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95819105)-sin(0.95816348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575000923487245-0.575023479740293)×R²
    abs(-0.26576217--0.26581011)×2.25562530480339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25562530480339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25562530480339e-05×40589641000000     		ar = 30848.003848344m²