Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59990 / 41522
↖ ↑ ↗
← N 54.898723°
W 15.232544°		 ← 175.63 m → N 54.898723°
W 15.229797°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
N 54.897144°
W 15.232544°		 ← 175.63 m →
30 838 m²		 N 54.897144°
W 15.229797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457691192626953 y=0.316791534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457691192626953 × 217)
    floor (0.457691192626953 × 131072)
    floor (59990.5)     		tx = 59990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316791534423828 × 217)
    floor (0.316791534423828 × 131072)
    floor (41522.5)     		ty = 41522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59990 / 41522 ti = "17/59990/41522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59990/41522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59990 ÷ 217
    59990 ÷ 131072     		x = 0.457687377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41522 ÷ 217
    41522 ÷ 131072     		y = 0.316787719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457687377929688 × 2 - 1) × π
    -0.084625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26585805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316787719726562 × 2 - 1) × π
    0.366424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15115670747603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26585805} λ = -0.26585805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15115670747603))-π/2
    2×atan(3.16184812864114)-π/2
    2×1.26447990448224-π/2
    2.52895980896449-1.57079632675     		φ = 0.95816348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26585805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.232544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95816348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.898723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59990 KachelY 41522 -0.26585805 0.95816348 -15.232544 54.898723
    Oben rechts KachelX + 1 59991 KachelY 41522 -0.26581011 0.95816348 -15.229797 54.898723
    Unten links KachelX 59990 KachelY + 1 41523 -0.26585805 0.95813592 -15.232544 54.897144
    Unten rechts KachelX + 1 59991 KachelY + 1 41523 -0.26581011 0.95813592 -15.229797 54.897144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95816348-0.95813592) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dl = 175.584759999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95816348-0.95813592) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dr = 175.584759999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26585805--0.26581011) × cos(0.95816348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575023479740293 × 6371000     		do = 175.626971817142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26585805--0.26581011) × cos(0.95813592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575046027375052 × 6371000     		du = 175.633858445174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95816348)-sin(0.95813592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575023479740293-0.575046027375052)×R²
    abs(-0.26581011--0.26585805)×2.25476347590625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25476347590625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25476347590625e-05×40589641000000     		ar = 30838.0242914858m²