Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59989 / 82603
↖ ↑ ↗
← S 42.380865°
W 15.235290°		 ← 225.56 m → S 42.380865°
W 15.232544°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
S 42.382894°
W 15.235290°		 ← 225.56 m →
50 886 m²		 S 42.382894°
W 15.232544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457683563232422 y=0.630214691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457683563232422 × 217)
    floor (0.457683563232422 × 131072)
    floor (59989.5)     		tx = 59989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630214691162109 × 217)
    floor (0.630214691162109 × 131072)
    floor (82603.5)     		ty = 82603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59989 / 82603 ti = "17/59989/82603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59989/82603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59989 ÷ 217
    59989 ÷ 131072     		x = 0.457679748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82603 ÷ 217
    82603 ÷ 131072     		y = 0.630210876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457679748535156 × 2 - 1) × π
    -0.0846405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26590598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630210876464844 × 2 - 1) × π
    -0.260421752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.818139065815498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26590598} λ = -0.26590598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818139065815498))-π/2
    2×atan(0.441252031925245)-π/2
    2×0.415555344650592-π/2
    0.831110689301183-1.57079632675     		φ = -0.73968564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26590598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.235290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73968564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.380865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59989 KachelY 82603 -0.26590598 -0.73968564 -15.235290 -42.380865
    Oben rechts KachelX + 1 59990 KachelY 82603 -0.26585805 -0.73968564 -15.232544 -42.380865
    Unten links KachelX 59989 KachelY + 1 82604 -0.26590598 -0.73972105 -15.235290 -42.382894
    Unten rechts KachelX + 1 59990 KachelY + 1 82604 -0.26585805 -0.73972105 -15.232544 -42.382894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73968564--0.73972105) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73968564--0.73972105) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26590598--0.26585805) × cos(-0.73968564) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.738680491385449 × 6371000     		do = 225.564974370735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26590598--0.26585805) × cos(-0.73972105) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.738656622608833 × 6371000     		du = 225.557685752654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73968564)-sin(-0.73972105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738680491385449-0.738656622608833)×R²
    abs(-0.26585805--0.26590598)×2.38687766164203e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38687766164203e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38687766164203e-05×40589641000000     		ar = 50885.9841950355m²