Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59988 / 59812
↖ ↑ ↗
← S 81.443407°
E149.523926°		 ← 90.88 m → S 81.443407°
E149.529419°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
S 81.444224°
E149.523926°		 ← 90.87 m →
8 256 m²		 S 81.444224°
E149.529419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915351867675781 y=0.912666320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915351867675781 × 216)
    floor (0.915351867675781 × 65536)
    floor (59988.5)     		tx = 59988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912666320800781 × 216)
    floor (0.912666320800781 × 65536)
    floor (59812.5)     		ty = 59812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59988 / 59812 ti = "16/59988/59812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59988/59812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59988 ÷ 216
    59988 ÷ 65536     		x = 0.91534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59812 ÷ 216
    59812 ÷ 65536     		y = 0.91265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91534423828125 × 2 - 1) × π
    0.8306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60968482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.8253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5928110266496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60968482} λ = 2.60968482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5928110266496))-π/2
    2×atan(0.0748094528751925)-π/2
    2×0.0746703637277224-π/2
    0.149340727455445-1.57079632675     		φ = -1.42145560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60968482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42145560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.443407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59988 KachelY 59812 2.60968482 -1.42145560 149.523926 -81.443407
    Oben rechts KachelX + 1 59989 KachelY 59812 2.60978069 -1.42145560 149.529419 -81.443407
    Unten links KachelX 59988 KachelY + 1 59813 2.60968482 -1.42146986 149.523926 -81.444224
    Unten rechts KachelX + 1 59989 KachelY + 1 59813 2.60978069 -1.42146986 149.529419 -81.444224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42145560--1.42146986) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dl = 90.850459999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42145560--1.42146986) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dr = 90.850459999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60968482-2.60978069) × cos(-1.42145560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148786229767176 × 6371000     		do = 90.8768094861991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60968482-2.60978069) × cos(-1.42146986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148772128474639 × 6371000     		du = 90.8681965891761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42145560)-sin(-1.42146986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148786229767176-0.148772128474639)×R²
    abs(2.60978069-2.60968482)×1.4101292537344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4101292537344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4101292537344e-05×40589641000000     		ar = 8255.80870227301m²