Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59987 / 59760
↖ ↑ ↗
← S 81.400802°
E149.518433°		 ← 91.34 m → S 81.400802°
E149.523926°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
S 81.401623°
E149.518433°		 ← 91.33 m →
8 344 m²		 S 81.401623°
E149.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915336608886719 y=0.911872863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915336608886719 × 216)
    floor (0.915336608886719 × 65536)
    floor (59987.5)     		tx = 59987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911872863769531 × 216)
    floor (0.911872863769531 × 65536)
    floor (59760.5)     		ty = 59760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59987 / 59760 ti = "16/59987/59760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59987/59760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59987 ÷ 216
    59987 ÷ 65536     		x = 0.915328979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59760 ÷ 216
    59760 ÷ 65536     		y = 0.911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915328979492188 × 2 - 1) × π
    0.830657958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60958894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60958894} λ = 2.60958894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58782558908911))-π/2
    2×atan(0.0751833419573682)-π/2
    2×0.0750421616432987-π/2
    0.150084323286597-1.57079632675     		φ = -1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60958894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.518433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59987 KachelY 59760 2.60958894 -1.42071200 149.518433 -81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 59988 KachelY 59760 2.60968482 -1.42071200 149.523926 -81.400802
    Unten links KachelX 59987 KachelY + 1 59761 2.60958894 -1.42072634 149.518433 -81.401623
    Unten rechts KachelX + 1 59988 KachelY + 1 59761 2.60968482 -1.42072634 149.523926 -81.401623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42071200--1.42072634) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42071200--1.42072634) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60958894-2.60968482) × cos(-1.42071200) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 91.3354367980574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60958894-2.60968482) × cos(-1.42072634) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149507333026189 × 6371000     		du = 91.3267756498403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42071200)-sin(-1.42072634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.149507333026189)×R²
    abs(2.60968482-2.60958894)×1.4178811872767e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4178811872767e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4178811872767e-05×40589641000000     		ar = 8344.02265127099m²