Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59984 / 41519
↖ ↑ ↗
← N 54.903461°
W 15.249024°		 ← 175.61 m → N 54.903461°
W 15.246277°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
N 54.901882°
W 15.249024°		 ← 175.61 m →
30 834 m²		 N 54.901882°
W 15.246277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457645416259766 y=0.316768646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457645416259766 × 217)
    floor (0.457645416259766 × 131072)
    floor (59984.5)     		tx = 59984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316768646240234 × 217)
    floor (0.316768646240234 × 131072)
    floor (41519.5)     		ty = 41519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59984 / 41519 ti = "17/59984/41519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59984/41519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59984 ÷ 217
    59984 ÷ 131072     		x = 0.4576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41519 ÷ 217
    41519 ÷ 131072     		y = 0.316764831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316764831542969 × 2 - 1) × π
    0.366470336914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.15130051817489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26614567} λ = -0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15130051817489))-π/2
    2×atan(3.16230286892769)-π/2
    2×1.26452124931401-π/2
    2.52904249862802-1.57079632675     		φ = 0.95824617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95824617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.903461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59984 KachelY 41519 -0.26614567 0.95824617 -15.249024 54.903461
    Oben rechts KachelX + 1 59985 KachelY 41519 -0.26609773 0.95824617 -15.246277 54.903461
    Unten links KachelX 59984 KachelY + 1 41520 -0.26614567 0.95821861 -15.249024 54.901882
    Unten rechts KachelX + 1 59985 KachelY + 1 41520 -0.26609773 0.95821861 -15.246277 54.901882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95824617-0.95821861) × R
    2.75600000000376e-05 × 6371000     		dl = 175.584760000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95824617-0.95821861) × R
    2.75600000000376e-05 × 6371000     		dr = 175.584760000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26614567--0.26609773) × cos(0.95824617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574955826033673 × 6371000     		do = 175.606308633734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26614567--0.26609773) × cos(0.95821861) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574978374978823 × 6371000     		du = 175.613195661993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95824617)-sin(0.95821861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574955826033673-0.574978374978823)×R²
    abs(-0.26609773--0.26614567)×2.25489451497474e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25489451497474e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25489451497474e-05×40589641000000     		ar = 30834.3961865266m²