Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59983 / 82674
↖ ↑ ↗
← S 42.524748°
W 15.251770°		 ← 225.05 m → S 42.524748°
W 15.249024°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 42.526772°
W 15.251770°		 ← 225.04 m →
50 655 m²		 S 42.526772°
W 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457637786865234 y=0.630756378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457637786865234 × 217)
    floor (0.457637786865234 × 131072)
    floor (59983.5)     		tx = 59983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630756378173828 × 217)
    floor (0.630756378173828 × 131072)
    floor (82674.5)     		ty = 82674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59983 / 82674 ti = "17/59983/82674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59983/82674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59983 ÷ 217
    59983 ÷ 131072     		x = 0.457633972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82674 ÷ 217
    82674 ÷ 131072     		y = 0.630752563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457633972167969 × 2 - 1) × π
    -0.0847320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26619360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630752563476562 × 2 - 1) × π
    -0.261505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.821542585688522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26619360} λ = -0.26619360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821542585688522))-π/2
    2×atan(0.439752774688751)-π/2
    2×0.414299729946107-π/2
    0.828599459892214-1.57079632675     		φ = -0.74219687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26619360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.251770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74219687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.524748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59983 KachelY 82674 -0.26619360 -0.74219687 -15.251770 -42.524748
    Oben rechts KachelX + 1 59984 KachelY 82674 -0.26614567 -0.74219687 -15.249024 -42.524748
    Unten links KachelX 59983 KachelY + 1 82675 -0.26619360 -0.74223220 -15.251770 -42.526772
    Unten rechts KachelX + 1 59984 KachelY + 1 82675 -0.26614567 -0.74223220 -15.249024 -42.526772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74219687--0.74223220) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74219687--0.74223220) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26619360--0.26614567) × cos(-0.74219687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.736985455024987 × 6371000     		do = 225.047374626781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26619360--0.26614567) × cos(-0.74223220) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.736961574714106 × 6371000     		du = 225.040082486573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74219687)-sin(-0.74223220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736985455024987-0.736961574714106)×R²
    abs(-0.26614567--0.26619360)×2.38803108811858e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38803108811858e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38803108811858e-05×40589641000000     		ar = 50654.5145037588m²