Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59983 / 41540
↖ ↑ ↗
← N 54.870285°
W 15.251770°		 ← 175.71 m → N 54.870285°
W 15.249024°		 →
↑
175.71 m
↓
↑
175.71 m
↓
N 54.868705°
W 15.251770°		 ← 175.72 m →
30 876 m²		 N 54.868705°
W 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457637786865234 y=0.316928863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457637786865234 × 217)
    floor (0.457637786865234 × 131072)
    floor (59983.5)     		tx = 59983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316928863525391 × 217)
    floor (0.316928863525391 × 131072)
    floor (41540.5)     		ty = 41540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59983 / 41540 ti = "17/59983/41540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59983/41540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59983 ÷ 217
    59983 ÷ 131072     		x = 0.457633972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41540 ÷ 217
    41540 ÷ 131072     		y = 0.316925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457633972167969 × 2 - 1) × π
    -0.0847320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26619360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316925048828125 × 2 - 1) × π
    0.36614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15029384328287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26619360} λ = -0.26619360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15029384328287))-π/2
    2×atan(3.15912105982094)-π/2
    2×1.26423173332095-π/2
    2.5284634666419-1.57079632675     		φ = 0.95766714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26619360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.251770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95766714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.870285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59983 KachelY 41540 -0.26619360 0.95766714 -15.251770 54.870285
    Oben rechts KachelX + 1 59984 KachelY 41540 -0.26614567 0.95766714 -15.249024 54.870285
    Unten links KachelX 59983 KachelY + 1 41541 -0.26619360 0.95763956 -15.251770 54.868705
    Unten rechts KachelX + 1 59984 KachelY + 1 41541 -0.26614567 0.95763956 -15.249024 54.868705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95766714-0.95763956) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dl = 175.712180000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95766714-0.95763956) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dr = 175.712180000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26619360--0.26614567) × cos(0.95766714) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575429482966291 × 6371000     		do = 175.714315040341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26619360--0.26614567) × cos(0.95763956) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575452039089009 × 6371000     		du = 175.721202823763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95766714)-sin(0.95763956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575429482966291-0.575452039089009)×R²
    abs(-0.26614567--0.26619360)×2.25561227175097e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25561227175097e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25561227175097e-05×40589641000000     		ar = 30875.7504885886m²