Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59983 / 31187
↖ ↑ ↗
← N 68.184828°
W 15.251770°		 ← 113.48 m → N 68.184828°
W 15.249024°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 68.183807°
W 15.251770°		 ← 113.48 m →
12 876 m²		 N 68.183807°
W 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457637786865234 y=0.237941741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457637786865234 × 217)
    floor (0.457637786865234 × 131072)
    floor (59983.5)     		tx = 59983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237941741943359 × 217)
    floor (0.237941741943359 × 131072)
    floor (31187.5)     		ty = 31187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59983 / 31187 ti = "17/59983/31187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59983/31187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59983 ÷ 217
    59983 ÷ 131072     		x = 0.457633972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31187 ÷ 217
    31187 ÷ 131072     		y = 0.237937927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457633972167969 × 2 - 1) × π
    -0.0847320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26619360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237937927246094 × 2 - 1) × π
    0.524124145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.64658456504931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26619360} λ = -0.26619360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64658456504931))-π/2
    2×atan(5.18922606196409)-π/2
    2×1.38042303505515-π/2
    2.76084607011031-1.57079632675     		φ = 1.19004974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26619360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.251770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19004974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.184828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59983 KachelY 31187 -0.26619360 1.19004974 -15.251770 68.184828
    Oben rechts KachelX + 1 59984 KachelY 31187 -0.26614567 1.19004974 -15.249024 68.184828
    Unten links KachelX 59983 KachelY + 1 31188 -0.26619360 1.19003193 -15.251770 68.183807
    Unten rechts KachelX + 1 59984 KachelY + 1 31188 -0.26614567 1.19003193 -15.249024 68.183807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19004974-1.19003193) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19004974-1.19003193) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26619360--0.26614567) × cos(1.19004974) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371613694728365 × 6371000     		do = 113.476712197992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26619360--0.26614567) × cos(1.19003193) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371630229249955 × 6371000     		du = 113.48176121307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19004974)-sin(1.19003193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371613694728365-0.371630229249955)×R²
    abs(-0.26614567--0.26619360)×1.65345215903945e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65345215903945e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65345215903945e-05×40589641000000     		ar = 12876.2064260853m²