Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59982 / 59722
↖ ↑ ↗
← S 81.369534°
E149.490967°		 ← 91.67 m → S 81.369534°
E149.496460°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
S 81.370359°
E149.490967°		 ← 91.66 m →
8 403 m²		 S 81.370359°
E149.496460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915260314941406 y=0.911293029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915260314941406 × 216)
    floor (0.915260314941406 × 65536)
    floor (59982.5)     		tx = 59982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911293029785156 × 216)
    floor (0.911293029785156 × 65536)
    floor (59722.5)     		ty = 59722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59982 / 59722 ti = "16/59982/59722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59982/59722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59982 ÷ 216
    59982 ÷ 65536     		x = 0.915252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59722 ÷ 216
    59722 ÷ 65536     		y = 0.911285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915252685546875 × 2 - 1) × π
    0.83050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60910957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.82257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58418238471799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60910957} λ = 2.60910957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58418238471799))-π/2
    2×atan(0.0754577497958248)-π/2
    2×0.0753150214957604-π/2
    0.150630042991521-1.57079632675     		φ = -1.42016628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60910957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.490967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42016628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.369534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59982 KachelY 59722 2.60910957 -1.42016628 149.490967 -81.369534
    Oben rechts KachelX + 1 59983 KachelY 59722 2.60920545 -1.42016628 149.496460 -81.369534
    Unten links KachelX 59982 KachelY + 1 59723 2.60910957 -1.42018067 149.490967 -81.370359
    Unten rechts KachelX + 1 59983 KachelY + 1 59723 2.60920545 -1.42018067 149.496460 -81.370359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42016628--1.42018067) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42016628--1.42018067) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60910957-2.60920545) × cos(-1.42016628) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150061074820522 × 6371000     		do = 91.6650296444462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60910957-2.60920545) × cos(-1.42018067) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15004684774686 × 6371000     		du = 91.6563390154438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42016628)-sin(-1.42018067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150061074820522-0.15004684774686)×R²
    abs(2.60920545-2.60910957)×1.42270736619154e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42270736619154e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42270736619154e-05×40589641000000     		ar = 8403.33146411001m²