Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59982 / 41542
↖ ↑ ↗
← N 54.867124°
W 15.254517°		 ← 175.76 m → N 54.867124°
W 15.251770°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
N 54.865544°
W 15.254517°		 ← 175.77 m →
30 896 m²		 N 54.865544°
W 15.251770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457630157470703 y=0.316944122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457630157470703 × 217)
    floor (0.457630157470703 × 131072)
    floor (59982.5)     		tx = 59982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316944122314453 × 217)
    floor (0.316944122314453 × 131072)
    floor (41542.5)     		ty = 41542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59982 / 41542 ti = "17/59982/41542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59982/41542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59982 ÷ 217
    59982 ÷ 131072     		x = 0.457626342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41542 ÷ 217
    41542 ÷ 131072     		y = 0.316940307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457626342773438 × 2 - 1) × π
    -0.084747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26624154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316940307617188 × 2 - 1) × π
    0.366119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15019796948363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26624154} λ = -0.26624154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15019796948363))-π/2
    2×atan(3.15881819740119)-π/2
    2×1.26420414793411-π/2
    2.52840829586823-1.57079632675     		φ = 0.95761197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26624154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.254517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95761197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.867124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59982 KachelY 41542 -0.26624154 0.95761197 -15.254517 54.867124
    Oben rechts KachelX + 1 59983 KachelY 41542 -0.26619360 0.95761197 -15.251770 54.867124
    Unten links KachelX 59982 KachelY + 1 41543 -0.26624154 0.95758438 -15.254517 54.865544
    Unten rechts KachelX + 1 59983 KachelY + 1 41543 -0.26619360 0.95758438 -15.251770 54.865544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95761197-0.95758438) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95761197-0.95758438) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26624154--0.26619360) × cos(0.95761197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575474602952202 × 6371000     		do = 175.764756457971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26624154--0.26619360) × cos(0.95758438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575497166377338 × 6371000     		du = 175.77164790879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95761197)-sin(0.95758438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575474602952202-0.575497166377338)×R²
    abs(-0.26619360--0.26624154)×2.25634251367346e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25634251367346e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25634251367346e-05×40589641000000     		ar = 30895.8121743933m²