Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59982 / 41537
↖ ↑ ↗
← N 54.875027°
W 15.254517°		 ← 175.73 m → N 54.875027°
W 15.251770°		 →
↑
175.71 m
↓
↑
175.71 m
↓
N 54.873446°
W 15.254517°		 ← 175.74 m →
30 879 m²		 N 54.873446°
W 15.251770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457630157470703 y=0.316905975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457630157470703 × 217)
    floor (0.457630157470703 × 131072)
    floor (59982.5)     		tx = 59982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316905975341797 × 217)
    floor (0.316905975341797 × 131072)
    floor (41537.5)     		ty = 41537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59982 / 41537 ti = "17/59982/41537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59982/41537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59982 ÷ 217
    59982 ÷ 131072     		x = 0.457626342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41537 ÷ 217
    41537 ÷ 131072     		y = 0.316902160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457626342773438 × 2 - 1) × π
    -0.084747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26624154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316902160644531 × 2 - 1) × π
    0.366195678710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.15043765398173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26624154} λ = -0.26624154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15043765398173))-π/2
    2×atan(3.15957540789761)-π/2
    2×1.26427310734579-π/2
    2.52854621469158-1.57079632675     		φ = 0.95774989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26624154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.254517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95774989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.875027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59982 KachelY 41537 -0.26624154 0.95774989 -15.254517 54.875027
    Oben rechts KachelX + 1 59983 KachelY 41537 -0.26619360 0.95774989 -15.251770 54.875027
    Unten links KachelX 59982 KachelY + 1 41538 -0.26624154 0.95772231 -15.254517 54.873446
    Unten rechts KachelX + 1 59983 KachelY + 1 41538 -0.26619360 0.95772231 -15.251770 54.873446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95774989-0.95772231) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dl = 175.712180000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95774989-0.95772231) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dr = 175.712180000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26624154--0.26619360) × cos(0.95774989) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575361803792993 × 6371000     		do = 175.730304691298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26624154--0.26619360) × cos(0.95772231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57538436122893 × 6371000     		du = 175.737194312862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95774989)-sin(0.95772231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575361803792993-0.57538436122893)×R²
    abs(-0.26619360--0.26624154)×2.25574359371539e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25574359371539e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25574359371539e-05×40589641000000     		ar = 30878.5602265837m²