Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59981 / 82353
↖ ↑ ↗
← S 41.871606°
W 15.257263°		 ← 227.43 m → S 41.871606°
W 15.254517°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.873651°
W 15.257263°		 ← 227.43 m →
51 713 m²		 S 41.873651°
W 15.254517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457622528076172 y=0.628307342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457622528076172 × 217)
    floor (0.457622528076172 × 131072)
    floor (59981.5)     		tx = 59981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628307342529297 × 217)
    floor (0.628307342529297 × 131072)
    floor (82353.5)     		ty = 82353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59981 / 82353 ti = "17/59981/82353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59981/82353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59981 ÷ 217
    59981 ÷ 131072     		x = 0.457618713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82353 ÷ 217
    82353 ÷ 131072     		y = 0.628303527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457618713378906 × 2 - 1) × π
    -0.0847625732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26628948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628303527832031 × 2 - 1) × π
    -0.256607055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.806154840910484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26628948} λ = -0.26628948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806154840910484))-π/2
    2×atan(0.44657190914754)-π/2
    2×0.419999468798697-π/2
    0.839998937597394-1.57079632675     		φ = -0.73079739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26628948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.257263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73079739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.871606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59981 KachelY 82353 -0.26628948 -0.73079739 -15.257263 -41.871606
    Oben rechts KachelX + 1 59982 KachelY 82353 -0.26624154 -0.73079739 -15.254517 -41.871606
    Unten links KachelX 59981 KachelY + 1 82354 -0.26628948 -0.73083308 -15.257263 -41.873651
    Unten rechts KachelX + 1 59982 KachelY + 1 82354 -0.26624154 -0.73083308 -15.254517 -41.873651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73079739--0.73083308) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73079739--0.73083308) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26628948--0.26624154) × cos(-0.73079739) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.744642410320556 × 6371000     		do = 227.432959207654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26628948--0.26624154) × cos(-0.73083308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.744618588069797 × 6371000     		du = 227.425683279087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73079739)-sin(-0.73083308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744642410320556-0.744618588069797)×R²
    abs(-0.26624154--0.26628948)×2.38222507591423e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38222507591423e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38222507591423e-05×40589641000000     		ar = 51713.1042250275m²