Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59981 / 59773
↖ ↑ ↗
← S 81.411473°
E149.485474°		 ← 91.21 m → S 81.411473°
E149.490967°		 →
↑
91.17 m
↓
↑
91.17 m
↓
S 81.412293°
E149.485474°		 ← 91.20 m →
8 315 m²		 S 81.412293°
E149.490967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915245056152344 y=0.912071228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915245056152344 × 216)
    floor (0.915245056152344 × 65536)
    floor (59981.5)     		tx = 59981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912071228027344 × 216)
    floor (0.912071228027344 × 65536)
    floor (59773.5)     		ty = 59773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59981 / 59773 ti = "16/59981/59773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59981/59773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59981 ÷ 216
    59981 ÷ 65536     		x = 0.915237426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59773 ÷ 216
    59773 ÷ 65536     		y = 0.912063598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915237426757812 × 2 - 1) × π
    0.830474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60901370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912063598632812 × 2 - 1) × π
    -0.824127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58907194847923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60901370} λ = 2.60901370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58907194847923))-π/2
    2×atan(0.0750896948642285)-π/2
    2×0.0749490402666223-π/2
    0.149898080533245-1.57079632675     		φ = -1.42089825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60901370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.485474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42089825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.411473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59981 KachelY 59773 2.60901370 -1.42089825 149.485474 -81.411473
    Oben rechts KachelX + 1 59982 KachelY 59773 2.60910957 -1.42089825 149.490967 -81.411473
    Unten links KachelX 59981 KachelY + 1 59774 2.60901370 -1.42091256 149.485474 -81.412293
    Unten rechts KachelX + 1 59982 KachelY + 1 59774 2.60910957 -1.42091256 149.490967 -81.412293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42089825--1.42091256) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dl = 91.1690100004643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42089825--1.42091256) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dr = 91.1690100004643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60901370-2.60910957) × cos(-1.42089825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14933735298019 × 6371000     		do = 91.213428804471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60901370-2.60910957) × cos(-1.42091256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149323203432889 × 6371000     		du = 91.2047864340289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42089825)-sin(-1.42091256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14933735298019-0.149323203432889)×R²
    abs(2.60910957-2.60901370)×1.41495473003905e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41495473003905e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41495473003905e-05×40589641000000     		ar = 8315.44404467873m²