Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59980 / 82675
↖ ↑ ↗
← S 42.526772°
W 15.260010°		 ← 225.04 m → S 42.526772°
W 15.257263°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
S 42.528796°
W 15.260010°		 ← 225.03 m →
50 639 m²		 S 42.528796°
W 15.257263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457614898681641 y=0.630764007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457614898681641 × 217)
    floor (0.457614898681641 × 131072)
    floor (59980.5)     		tx = 59980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630764007568359 × 217)
    floor (0.630764007568359 × 131072)
    floor (82675.5)     		ty = 82675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59980 / 82675 ti = "17/59980/82675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59980/82675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59980 ÷ 217
    59980 ÷ 131072     		x = 0.457611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82675 ÷ 217
    82675 ÷ 131072     		y = 0.630760192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.08477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26633741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630760192871094 × 2 - 1) × π
    -0.261520385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.821590522588142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26633741} λ = -0.26633741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821590522588142))-π/2
    2×atan(0.43973169480939)-π/2
    2×0.414282065833339-π/2
    0.828564131666679-1.57079632675     		φ = -0.74223220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26633741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.260010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74223220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.526772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59980 KachelY 82675 -0.26633741 -0.74223220 -15.260010 -42.526772
    Oben rechts KachelX + 1 59981 KachelY 82675 -0.26628948 -0.74223220 -15.257263 -42.526772
    Unten links KachelX 59980 KachelY + 1 82676 -0.26633741 -0.74226752 -15.260010 -42.528796
    Unten rechts KachelX + 1 59981 KachelY + 1 82676 -0.26628948 -0.74226752 -15.257263 -42.528796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74223220--0.74226752) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dl = 225.02371999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74223220--0.74226752) × R
    3.53199999999498e-05 × 6371000     		dr = 225.02371999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26633741--0.26628948) × cos(-0.74223220) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.736961574714106 × 6371000     		do = 225.040082486573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26633741--0.26628948) × cos(-0.74226752) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.736937700242949 × 6371000     		du = 225.032792129596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74223220)-sin(-0.74226752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736961574714106-0.736937700242949)×R²
    abs(-0.26628948--0.26633741)×2.3874471156371e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3874471156371e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3874471156371e-05×40589641000000     		ar = 50638.5362638192m²