Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59980 / 59774
↖ ↑ ↗
← S 81.412293°
E149.479980°		 ← 91.21 m → S 81.412293°
E149.485474°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
S 81.413113°
E149.479980°		 ← 91.21 m →
8 321 m²		 S 81.413113°
E149.485474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915229797363281 y=0.912086486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915229797363281 × 216)
    floor (0.915229797363281 × 65536)
    floor (59980.5)     		tx = 59980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912086486816406 × 216)
    floor (0.912086486816406 × 65536)
    floor (59774.5)     		ty = 59774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59980 / 59774 ti = "16/59980/59774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59980/59774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59980 ÷ 216
    59980 ÷ 65536     		x = 0.91522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59774 ÷ 216
    59774 ÷ 65536     		y = 0.912078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    0.8304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60891782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.82415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58916782227847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60891782} λ = 2.60891782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58916782227847))-π/2
    2×atan(0.0750824960749913)-π/2
    2×0.0749418818360563-π/2
    0.149883763672113-1.57079632675     		φ = -1.42091256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60891782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42091256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.412293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59980 KachelY 59774 2.60891782 -1.42091256 149.479980 -81.412293
    Oben rechts KachelX + 1 59981 KachelY 59774 2.60901370 -1.42091256 149.485474 -81.412293
    Unten links KachelX 59980 KachelY + 1 59775 2.60891782 -1.42092688 149.479980 -81.413113
    Unten rechts KachelX + 1 59981 KachelY + 1 59775 2.60901370 -1.42092688 149.485474 -81.413113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42091256--1.42092688) × R
    1.43199999997901e-05 × 6371000     		dl = 91.2327199986624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42091256--1.42092688) × R
    1.43199999997901e-05 × 6371000     		dr = 91.2327199986624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60891782-2.60901370) × cos(-1.42091256) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149323203432889 × 6371000     		do = 91.2142998156843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60891782-2.60901370) × cos(-1.42092688) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149309043967106 × 6371000     		du = 91.2056504850543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42091256)-sin(-1.42092688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149323203432889-0.149309043967106)×R²
    abs(2.60901370-2.60891782)×1.4159465783703e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.4159465783703e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.4159465783703e-05×40589641000000     		ar = 8321.33412429256m²