Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59980 / 59715
↖ ↑ ↗
← S 81.363762°
E149.479980°		 ← 91.73 m → S 81.363762°
E149.485474°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 81.364587°
E149.479980°		 ← 91.72 m →
8 415 m²		 S 81.364587°
E149.485474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915229797363281 y=0.911186218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915229797363281 × 216)
    floor (0.915229797363281 × 65536)
    floor (59980.5)     		tx = 59980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911186218261719 × 216)
    floor (0.911186218261719 × 65536)
    floor (59715.5)     		ty = 59715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59980 / 59715 ti = "16/59980/59715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59980/59715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59980 ÷ 216
    59980 ÷ 65536     		x = 0.91522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59715 ÷ 216
    59715 ÷ 65536     		y = 0.911178588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    0.8304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60891782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911178588867188 × 2 - 1) × π
    -0.822357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58351126812331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60891782} λ = 2.60891782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58351126812331))-π/2
    2×atan(0.0755084077407024)-π/2
    2×0.075365392442328-π/2
    0.150730784884656-1.57079632675     		φ = -1.42006554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60891782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42006554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.363762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59980 KachelY 59715 2.60891782 -1.42006554 149.479980 -81.363762
    Oben rechts KachelX + 1 59981 KachelY 59715 2.60901370 -1.42006554 149.485474 -81.363762
    Unten links KachelX 59980 KachelY + 1 59716 2.60891782 -1.42007994 149.479980 -81.364587
    Unten rechts KachelX + 1 59981 KachelY + 1 59716 2.60901370 -1.42007994 149.485474 -81.364587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42006554--1.42007994) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42006554--1.42007994) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60891782-2.60901370) × cos(-1.42006554) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.150160673352549 × 6371000     		do = 91.7258695555657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60891782-2.60901370) × cos(-1.42007994) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.150146436609847 × 6371000     		du = 91.7171730202159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42006554)-sin(-1.42007994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150160673352549-0.150146436609847)×R²
    abs(2.60901370-2.60891782)×1.42367427018175e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.42367427018175e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.42367427018175e-05×40589641000000     		ar = 8414.75249471611m²