Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59978 / 58746
↖ ↑ ↗
← S 80.526648°
E149.468994°		 ← 100.53 m → S 80.526648°
E149.474487°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 80.527552°
E149.468994°		 ← 100.52 m →
10 106 m²		 S 80.527552°
E149.474487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915199279785156 y=0.896400451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915199279785156 × 216)
    floor (0.915199279785156 × 65536)
    floor (59978.5)     		tx = 59978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896400451660156 × 216)
    floor (0.896400451660156 × 65536)
    floor (58746.5)     		ty = 58746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59978 / 58746 ti = "16/59978/58746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59978/58746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59978 ÷ 216
    59978 ÷ 65536     		x = 0.915191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58746 ÷ 216
    58746 ÷ 65536     		y = 0.896392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915191650390625 × 2 - 1) × π
    0.83038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60872608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.79278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.49060955665964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60872608} λ = 2.60872608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49060955665964))-π/2
    2×atan(0.0828594436527527)-π/2
    2×0.0826705919895318-π/2
    0.165341183979064-1.57079632675     		φ = -1.40545514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60872608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.468994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40545514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.526648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59978 KachelY 58746 2.60872608 -1.40545514 149.468994 -80.526648
    Oben rechts KachelX + 1 59979 KachelY 58746 2.60882195 -1.40545514 149.474487 -80.526648
    Unten links KachelX 59978 KachelY + 1 58747 2.60872608 -1.40547092 149.468994 -80.527552
    Unten rechts KachelX + 1 59979 KachelY + 1 58747 2.60882195 -1.40547092 149.474487 -80.527552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40545514--1.40547092) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40545514--1.40547092) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60872608-2.60882195) × cos(-1.40545514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164588874340861 × 6371000     		do = 100.528871525463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60872608-2.60882195) × cos(-1.40547092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164573309523951 × 6371000     		du = 100.519364725652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40545514)-sin(-1.40547092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164588874340861-0.164573309523951)×R²
    abs(2.60882195-2.60872608)×1.55648169100908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55648169100908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55648169100908e-05×40589641000000     		ar = 10106.1298911985m²