Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59978 / 41517
↖ ↑ ↗
← N 54.906619°
W 15.265503°		 ← 175.59 m → N 54.906619°
W 15.262756°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
N 54.905040°
W 15.265503°		 ← 175.60 m →
30 832 m²		 N 54.905040°
W 15.262756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457599639892578 y=0.316753387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457599639892578 × 217)
    floor (0.457599639892578 × 131072)
    floor (59978.5)     		tx = 59978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316753387451172 × 217)
    floor (0.316753387451172 × 131072)
    floor (41517.5)     		ty = 41517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59978 / 41517 ti = "17/59978/41517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59978/41517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59978 ÷ 217
    59978 ÷ 131072     		x = 0.457595825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41517 ÷ 217
    41517 ÷ 131072     		y = 0.316749572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457595825195312 × 2 - 1) × π
    -0.084808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26643329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316749572753906 × 2 - 1) × π
    0.366500854492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.15139639197413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26643329} λ = -0.26643329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15139639197413))-π/2
    2×atan(3.16260606545215)-π/2
    2×1.26454880983267-π/2
    2.52909761966534-1.57079632675     		φ = 0.95830129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26643329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.265503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95830129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.906619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59978 KachelY 41517 -0.26643329 0.95830129 -15.265503 54.906619
    Oben rechts KachelX + 1 59979 KachelY 41517 -0.26638535 0.95830129 -15.262756 54.906619
    Unten links KachelX 59978 KachelY + 1 41518 -0.26643329 0.95827373 -15.265503 54.905040
    Unten rechts KachelX + 1 59979 KachelY + 1 41518 -0.26638535 0.95827373 -15.262756 54.905040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95830129-0.95827373) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dl = 175.584759999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95830129-0.95827373) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dr = 175.584759999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26643329--0.26638535) × cos(0.95830129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574910726833261 × 6371000     		do = 175.592534176871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26643329--0.26638535) × cos(0.95827373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574933276651813 × 6371000     		du = 175.59942147189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95830129)-sin(0.95827373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574910726833261-0.574933276651813)×R²
    abs(-0.26638535--0.26643329)×2.25498185520978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25498185520978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25498185520978e-05×40589641000000     		ar = 30831.9776251276m²