Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59977 / 41518
↖ ↑ ↗
← N 54.905040°
W 15.268249°		 ← 175.56 m → N 54.905040°
W 15.265503°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
N 54.903461°
W 15.268249°		 ← 175.57 m →
30 827 m²		 N 54.903461°
W 15.265503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457592010498047 y=0.316761016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457592010498047 × 217)
    floor (0.457592010498047 × 131072)
    floor (59977.5)     		tx = 59977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316761016845703 × 217)
    floor (0.316761016845703 × 131072)
    floor (41518.5)     		ty = 41518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59977 / 41518 ti = "17/59977/41518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59977/41518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59977 ÷ 217
    59977 ÷ 131072     		x = 0.457588195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41518 ÷ 217
    41518 ÷ 131072     		y = 0.316757202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457588195800781 × 2 - 1) × π
    -0.0848236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26648122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316757202148438 × 2 - 1) × π
    0.366485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15134845507451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26648122} λ = -0.26648122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15134845507451))-π/2
    2×atan(3.16245446355634)-π/2
    2×1.26453502984359-π/2
    2.52907005968717-1.57079632675     		φ = 0.95827373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26648122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.268249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95827373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.905040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59977 KachelY 41518 -0.26648122 0.95827373 -15.268249 54.905040
    Oben rechts KachelX + 1 59978 KachelY 41518 -0.26643329 0.95827373 -15.265503 54.905040
    Unten links KachelX 59977 KachelY + 1 41519 -0.26648122 0.95824617 -15.268249 54.903461
    Unten rechts KachelX + 1 59978 KachelY + 1 41519 -0.26643329 0.95824617 -15.265503 54.903461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95827373-0.95824617) × R
    2.75600000000376e-05 × 6371000     		dl = 175.584760000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95827373-0.95824617) × R
    2.75600000000376e-05 × 6371000     		dr = 175.584760000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26648122--0.26643329) × cos(0.95827373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.574933276651813 × 6371000     		do = 175.562792473057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26648122--0.26643329) × cos(0.95824617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.574955826033673 × 6371000     		du = 175.569678198077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95827373)-sin(0.95824617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574933276651813-0.574955826033673)×R²
    abs(-0.26643329--0.26648122)×2.25493818596378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25493818596378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25493818596378e-05×40589641000000     		ar = 30826.7552973813m²