Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59976 / 59654
↖ ↑ ↗
← S 81.313300°
E149.458008°		 ← 92.25 m → S 81.313300°
E149.463501°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
S 81.314130°
E149.458008°		 ← 92.24 m →
8 510 m²		 S 81.314130°
E149.463501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915168762207031 y=0.910255432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915168762207031 × 216)
    floor (0.915168762207031 × 65536)
    floor (59976.5)     		tx = 59976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910255432128906 × 216)
    floor (0.910255432128906 × 65536)
    floor (59654.5)     		ty = 59654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59976 / 59654 ti = "16/59976/59654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59976/59654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59976 ÷ 216
    59976 ÷ 65536     		x = 0.9151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59654 ÷ 216
    59654 ÷ 65536     		y = 0.910247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60853433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.82049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57766296636966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60853433} λ = 2.60853433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57766296636966))-π/2
    2×atan(0.0759512975082773)-π/2
    2×0.0758057567091403-π/2
    0.151611513418281-1.57079632675     		φ = -1.41918481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60853433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41918481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.313300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59976 KachelY 59654 2.60853433 -1.41918481 149.458008 -81.313300
    Oben rechts KachelX + 1 59977 KachelY 59654 2.60863020 -1.41918481 149.463501 -81.313300
    Unten links KachelX 59976 KachelY + 1 59655 2.60853433 -1.41919929 149.458008 -81.314130
    Unten rechts KachelX + 1 59977 KachelY + 1 59655 2.60863020 -1.41919929 149.463501 -81.314130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41918481--1.41919929) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dl = 92.2520799995405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41918481--1.41919929) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dr = 92.2520799995405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60853433-2.60863020) × cos(-1.41918481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151031358937964 × 6371000     		do = 92.2481069257864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60853433-2.60863020) × cos(-1.41919929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151017045022615 × 6371000     		du = 92.2393641613508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41918481)-sin(-1.41919929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151031358937964-0.151017045022615)×R²
    abs(2.60863020-2.60853433)×1.43139153483962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43139153483962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43139153483962e-05×40589641000000     		ar = 8509.67647107241m²