Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59975 / 59255
↖ ↑ ↗
← S 80.975937°
E149.452515°		 ← 95.80 m → S 80.975937°
E149.458008°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
S 80.976799°
E149.452515°		 ← 95.79 m →
9 179 m²		 S 80.976799°
E149.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915153503417969 y=0.904167175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915153503417969 × 216)
    floor (0.915153503417969 × 65536)
    floor (59975.5)     		tx = 59975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904167175292969 × 216)
    floor (0.904167175292969 × 65536)
    floor (59255.5)     		ty = 59255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59975 / 59255 ti = "16/59975/59255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59975/59255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59975 ÷ 216
    59975 ÷ 65536     		x = 0.915145874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59255 ÷ 216
    59255 ÷ 65536     		y = 0.904159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915145874023438 × 2 - 1) × π
    0.830291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60843846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.808319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53940932047285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60843846} λ = 2.60843846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53940932047285))-π/2
    2×atan(0.0789129983194546)-π/2
    2×0.0787498036866502-π/2
    0.1574996073733-1.57079632675     		φ = -1.41329672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60843846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.452515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41329672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.975937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59975 KachelY 59255 2.60843846 -1.41329672 149.452515 -80.975937
    Oben rechts KachelX + 1 59976 KachelY 59255 2.60853433 -1.41329672 149.458008 -80.975937
    Unten links KachelX 59975 KachelY + 1 59256 2.60843846 -1.41331176 149.452515 -80.976799
    Unten rechts KachelX + 1 59976 KachelY + 1 59256 2.60853433 -1.41331176 149.458008 -80.976799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41329672--1.41331176) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dl = 95.8198400004919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41329672--1.41331176) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dr = 95.8198400004919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60843846-2.60853433) × cos(-1.41329672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156849254769357 × 6371000     		do = 95.8016065467356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60843846-2.60853433) × cos(-1.41331176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15683440090839 × 6371000     		du = 95.7925339901194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41329672)-sin(-1.41331176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156849254769357-0.15683440090839)×R²
    abs(2.60853433-2.60843846)×1.48538609675286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48538609675286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48538609675286e-05×40589641000000     		ar = 9179.25994596505m²