Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59975 / 41465
↖ ↑ ↗
← N 54.988646°
W 15.273743°		 ← 175.23 m → N 54.988646°
W 15.270996°		 →
↑
175.20 m
↓
↑
175.20 m
↓
N 54.987070°
W 15.273743°		 ← 175.24 m →
30 702 m²		 N 54.987070°
W 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457576751708984 y=0.316356658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457576751708984 × 217)
    floor (0.457576751708984 × 131072)
    floor (59975.5)     		tx = 59975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316356658935547 × 217)
    floor (0.316356658935547 × 131072)
    floor (41465.5)     		ty = 41465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59975 / 41465 ti = "17/59975/41465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59975/41465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59975 ÷ 217
    59975 ÷ 131072     		x = 0.457572937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41465 ÷ 217
    41465 ÷ 131072     		y = 0.316352844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457572937011719 × 2 - 1) × π
    -0.0848541259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26657710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316352844238281 × 2 - 1) × π
    0.367294311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.15388911075437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26657710} λ = -0.26657710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15388911075437))-π/2
    2×atan(3.17049938681402)-π/2
    2×1.26526462473771-π/2
    2.53052924947543-1.57079632675     		φ = 0.95973292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26657710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.273743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95973292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.988646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59975 KachelY 41465 -0.26657710 0.95973292 -15.273743 54.988646
    Oben rechts KachelX + 1 59976 KachelY 41465 -0.26652916 0.95973292 -15.270996 54.988646
    Unten links KachelX 59975 KachelY + 1 41466 -0.26657710 0.95970542 -15.273743 54.987070
    Unten rechts KachelX + 1 59976 KachelY + 1 41466 -0.26652916 0.95970542 -15.270996 54.987070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95973292-0.95970542) × R
    2.74999999999581e-05 × 6371000     		dl = 175.202499999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95973292-0.95970542) × R
    2.74999999999581e-05 × 6371000     		dr = 175.202499999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26657710--0.26652916) × cos(0.95973292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573738755298832 × 6371000     		do = 175.234583903913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26657710--0.26652916) × cos(0.95970542) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573761278636877 × 6371000     		du = 175.241463111102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95973292)-sin(0.95970542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573738755298832-0.573761278636877)×R²
    abs(-0.26652916--0.26657710)×2.25233380447554e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25233380447554e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25233380447554e-05×40589641000000     		ar = 30702.1398154939m²