Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59975 / 31175
↖ ↑ ↗
← N 68.197072°
W 15.273743°		 ← 113.44 m → N 68.197072°
W 15.270996°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 68.196052°
W 15.273743°		 ← 113.44 m →
12 865 m²		 N 68.196052°
W 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457576751708984 y=0.237850189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457576751708984 × 217)
    floor (0.457576751708984 × 131072)
    floor (59975.5)     		tx = 59975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237850189208984 × 217)
    floor (0.237850189208984 × 131072)
    floor (31175.5)     		ty = 31175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59975 / 31175 ti = "17/59975/31175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59975/31175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59975 ÷ 217
    59975 ÷ 131072     		x = 0.457572937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31175 ÷ 217
    31175 ÷ 131072     		y = 0.237846374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457572937011719 × 2 - 1) × π
    -0.0848541259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26657710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237846374511719 × 2 - 1) × π
    0.524307250976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.64715980784475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26657710} λ = -0.26657710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64715980784475))-π/2
    2×atan(5.19221198560334)-π/2
    2×1.38052989056821-π/2
    2.76105978113642-1.57079632675     		φ = 1.19026345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26657710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.273743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19026345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.197072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59975 KachelY 31175 -0.26657710 1.19026345 -15.273743 68.197072
    Oben rechts KachelX + 1 59976 KachelY 31175 -0.26652916 1.19026345 -15.270996 68.197072
    Unten links KachelX 59975 KachelY + 1 31176 -0.26657710 1.19024565 -15.273743 68.196052
    Unten rechts KachelX + 1 59976 KachelY + 1 31176 -0.26652916 1.19024565 -15.270996 68.196052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19026345-1.19024565) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19026345-1.19024565) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26657710--0.26652916) × cos(1.19026345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371415280561246 × 6371000     		do = 113.439786912783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26657710--0.26652916) × cos(1.19024565) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371431807212315 × 6371000     		du = 113.444834577415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19026345)-sin(1.19024565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371415280561246-0.371431807212315)×R²
    abs(-0.26652916--0.26657710)×1.65266510685491e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65266510685491e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65266510685491e-05×40589641000000     		ar = 12864.7891195156m²