Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59974 / 41455
↖ ↑ ↗
← N 55.004401°
W 15.276490°		 ← 175.17 m → N 55.004401°
W 15.273743°		 →
↑
175.14 m
↓
↑
175.14 m
↓
N 55.002826°
W 15.276490°		 ← 175.17 m →
30 679 m²		 N 55.002826°
W 15.273743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457569122314453 y=0.316280364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457569122314453 × 217)
    floor (0.457569122314453 × 131072)
    floor (59974.5)     		tx = 59974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316280364990234 × 217)
    floor (0.316280364990234 × 131072)
    floor (41455.5)     		ty = 41455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59974 / 41455 ti = "17/59974/41455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59974/41455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59974 ÷ 217
    59974 ÷ 131072     		x = 0.457565307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41455 ÷ 217
    41455 ÷ 131072     		y = 0.316276550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457565307617188 × 2 - 1) × π
    -0.084869384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26662504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316276550292969 × 2 - 1) × π
    0.367446899414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.15436847975057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26662504} λ = -0.26662504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15436847975057))-π/2
    2×atan(3.17201959026262)-π/2
    2×1.26540211402866-π/2
    2.53080422805732-1.57079632675     		φ = 0.96000790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26662504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.276490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96000790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.004401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59974 KachelY 41455 -0.26662504 0.96000790 -15.276490 55.004401
    Oben rechts KachelX + 1 59975 KachelY 41455 -0.26657710 0.96000790 -15.273743 55.004401
    Unten links KachelX 59974 KachelY + 1 41456 -0.26662504 0.95998041 -15.276490 55.002826
    Unten rechts KachelX + 1 59975 KachelY + 1 41456 -0.26657710 0.95998041 -15.273743 55.002826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96000790-0.95998041) × R
    2.74900000000189e-05 × 6371000     		dl = 175.13879000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96000790-0.95998041) × R
    2.74900000000189e-05 × 6371000     		dr = 175.13879000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26662504--0.26657710) × cos(0.96000790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57351351444117 × 6371000     		do = 175.16578954808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26662504--0.26657710) × cos(0.95998041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573536033925229 × 6371000     		du = 175.172667578163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96000790)-sin(0.95998041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57351351444117-0.573536033925229)×R²
    abs(-0.26657710--0.26662504)×2.25194840588472e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25194840588472e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25194840588472e-05×40589641000000     		ar = 30678.9267376645m²