Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59973 / 59491
↖ ↑ ↗
← S 81.177019°
E149.441528°		 ← 93.68 m → S 81.177019°
E149.447021°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
S 81.177861°
E149.441528°		 ← 93.68 m →
8 773 m²		 S 81.177861°
E149.447021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915122985839844 y=0.907768249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915122985839844 × 216)
    floor (0.915122985839844 × 65536)
    floor (59973.5)     		tx = 59973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907768249511719 × 216)
    floor (0.907768249511719 × 65536)
    floor (59491.5)     		ty = 59491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59973 / 59491 ti = "16/59973/59491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59973/59491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59973 ÷ 216
    59973 ÷ 65536     		x = 0.915115356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59491 ÷ 216
    59491 ÷ 65536     		y = 0.907760620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915115356445312 × 2 - 1) × π
    0.830230712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60824671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907760620117188 × 2 - 1) × π
    -0.815521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56203553709352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60824671} λ = 2.60824671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56203553709352))-π/2
    2×atan(0.0771475438206781)-π/2
    2×0.0769950339398904-π/2
    0.153990067879781-1.57079632675     		φ = -1.41680626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60824671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.441528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41680626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.177019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59973 KachelY 59491 2.60824671 -1.41680626 149.441528 -81.177019
    Oben rechts KachelX + 1 59974 KachelY 59491 2.60834258 -1.41680626 149.447021 -81.177019
    Unten links KachelX 59973 KachelY + 1 59492 2.60824671 -1.41682096 149.441528 -81.177861
    Unten rechts KachelX + 1 59974 KachelY + 1 59492 2.60834258 -1.41682096 149.447021 -81.177861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41680626--1.41682096) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dl = 93.6536999995101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41680626--1.41682096) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dr = 93.6536999995101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60824671-2.60834258) × cos(-1.41680626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153382195077666 × 6371000     		do = 93.6839688891904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60824671-2.60834258) × cos(-1.41682096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153367669007069 × 6371000     		du = 93.6750965429239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41680626)-sin(-1.41682096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153382195077666-0.153367669007069)×R²
    abs(2.60834258-2.60824671)×1.45260705964601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45260705964601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45260705964601e-05×40589641000000     		ar = 8773.43485324081m²