Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59973 / 59485
↖ ↑ ↗
← S 81.171962°
E149.441528°		 ← 93.74 m → S 81.171962°
E149.447021°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
S 81.172805°
E149.441528°		 ← 93.73 m →
8 784 m²		 S 81.172805°
E149.447021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915122985839844 y=0.907676696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915122985839844 × 216)
    floor (0.915122985839844 × 65536)
    floor (59973.5)     		tx = 59973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907676696777344 × 216)
    floor (0.907676696777344 × 65536)
    floor (59485.5)     		ty = 59485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59973 / 59485 ti = "16/59973/59485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59973/59485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59973 ÷ 216
    59973 ÷ 65536     		x = 0.915115356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59485 ÷ 216
    59485 ÷ 65536     		y = 0.907669067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915115356445312 × 2 - 1) × π
    0.830230712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60824671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907669067382812 × 2 - 1) × π
    -0.815338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56146029429808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60824671} λ = 2.60824671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56146029429808))-π/2
    2×atan(0.0771919351561207)-π/2
    2×0.0770391624824111-π/2
    0.154078324964822-1.57079632675     		φ = -1.41671800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60824671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.441528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41671800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.171962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59973 KachelY 59485 2.60824671 -1.41671800 149.441528 -81.171962
    Oben rechts KachelX + 1 59974 KachelY 59485 2.60834258 -1.41671800 149.447021 -81.171962
    Unten links KachelX 59973 KachelY + 1 59486 2.60824671 -1.41673271 149.441528 -81.172805
    Unten rechts KachelX + 1 59974 KachelY + 1 59486 2.60834258 -1.41673271 149.447021 -81.172805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41671800--1.41673271) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41671800--1.41673271) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60824671-2.60834258) × cos(-1.41671800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153469410094308 × 6371000     		do = 93.7372387547157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60824671-2.60834258) × cos(-1.41673271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153454874341203 × 6371000     		du = 93.7283604944917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41671800)-sin(-1.41673271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153469410094308-0.153454874341203)×R²
    abs(2.60834258-2.60824671)×1.45357531045887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45357531045887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45357531045887e-05×40589641000000     		ar = 8784.39521319232m²