Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59973 / 41575
↖ ↑ ↗
← N 54.814931°
W 15.279236°		 ← 175.96 m → N 54.814931°
W 15.276490°		 →
↑
176.03 m
↓
↑
176.03 m
↓
N 54.813348°
W 15.279236°		 ← 175.96 m →
30 974 m²		 N 54.813348°
W 15.276490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457561492919922 y=0.317195892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457561492919922 × 217)
    floor (0.457561492919922 × 131072)
    floor (59973.5)     		tx = 59973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317195892333984 × 217)
    floor (0.317195892333984 × 131072)
    floor (41575.5)     		ty = 41575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59973 / 41575 ti = "17/59973/41575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59973/41575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59973 ÷ 217
    59973 ÷ 131072     		x = 0.457557678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41575 ÷ 217
    41575 ÷ 131072     		y = 0.317192077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457557678222656 × 2 - 1) × π
    -0.0848846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26667297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317192077636719 × 2 - 1) × π
    0.365615844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.14861605179617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26667297} λ = -0.26667297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14861605179617))-π/2
    2×atan(3.15382515735367)-π/2
    2×1.26374867670654-π/2
    2.52749735341308-1.57079632675     		φ = 0.95670103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26667297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.279236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95670103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.814931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59973 KachelY 41575 -0.26667297 0.95670103 -15.279236 54.814931
    Oben rechts KachelX + 1 59974 KachelY 41575 -0.26662504 0.95670103 -15.276490 54.814931
    Unten links KachelX 59973 KachelY + 1 41576 -0.26667297 0.95667340 -15.279236 54.813348
    Unten rechts KachelX + 1 59974 KachelY + 1 41576 -0.26662504 0.95667340 -15.276490 54.813348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95670103-0.95667340) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dl = 176.030729999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95670103-0.95667340) × R
    2.76299999999452e-05 × 6371000     		dr = 176.030729999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26667297--0.26662504) × cos(0.95670103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576219348714179 × 6371000     		do = 175.955510048747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26667297--0.26662504) × cos(0.95667340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.576241930357531 × 6371000     		du = 175.962405625202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95670103)-sin(0.95667340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576219348714179-0.576241930357531)×R²
    abs(-0.26662504--0.26667297)×2.25816433526704e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25816433526704e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25816433526704e-05×40589641000000     		ar = 30974.1837999327m²