Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59970 / 41798
↖ ↑ ↗
← N 54.460460°
W 15.287475°		 ← 177.50 m → N 54.460460°
W 15.284729°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 54.458863°
W 15.287475°		 ← 177.50 m →
31 517 m²		 N 54.458863°
W 15.284729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457538604736328 y=0.318897247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457538604736328 × 217)
    floor (0.457538604736328 × 131072)
    floor (59970.5)     		tx = 59970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318897247314453 × 217)
    floor (0.318897247314453 × 131072)
    floor (41798.5)     		ty = 41798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59970 / 41798 ti = "17/59970/41798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59970/41798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59970 ÷ 217
    59970 ÷ 131072     		x = 0.457534790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41798 ÷ 217
    41798 ÷ 131072     		y = 0.318893432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457534790039062 × 2 - 1) × π
    -0.084930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26681678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318893432617188 × 2 - 1) × π
    0.362213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13792612318089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26681678} λ = -0.26681678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13792612318089))-π/2
    2×atan(3.12029055216974)-π/2
    2×1.26065533110925-π/2
    2.5213106622185-1.57079632675     		φ = 0.95051434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26681678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.287475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95051434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.460460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59970 KachelY 41798 -0.26681678 0.95051434 -15.287475 54.460460
    Oben rechts KachelX + 1 59971 KachelY 41798 -0.26676885 0.95051434 -15.284729 54.460460
    Unten links KachelX 59970 KachelY + 1 41799 -0.26681678 0.95048647 -15.287475 54.458863
    Unten rechts KachelX + 1 59971 KachelY + 1 41799 -0.26676885 0.95048647 -15.284729 54.458863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95051434-0.95048647) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95051434-0.95048647) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26681678--0.26676885) × cos(0.95051434) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581264640410737 × 6371000     		do = 177.496150562946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26681678--0.26676885) × cos(0.95048647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581287318410336 × 6371000     		du = 177.50307556294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95051434)-sin(0.95048647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581264640410737-0.581287318410336)×R²
    abs(-0.26676885--0.26681678)×2.26779995986526e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26779995986526e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26779995986526e-05×40589641000000     		ar = 31516.790472627m²