Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59969 / 59796
↖ ↑ ↗
← S 81.430320°
E149.419555°		 ← 91.02 m → S 81.430320°
E149.425049°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 81.431138°
E149.419555°		 ← 91.02 m →
8 287 m²		 S 81.431138°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915061950683594 y=0.912422180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915061950683594 × 216)
    floor (0.915061950683594 × 65536)
    floor (59969.5)     		tx = 59969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912422180175781 × 216)
    floor (0.912422180175781 × 65536)
    floor (59796.5)     		ty = 59796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59969 / 59796 ti = "16/59969/59796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59969/59796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59969 ÷ 216
    59969 ÷ 65536     		x = 0.915054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59796 ÷ 216
    59796 ÷ 65536     		y = 0.91241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915054321289062 × 2 - 1) × π
    0.830108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60786321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.8248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59127704586176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60786321} λ = 2.60786321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59127704586176))-π/2
    2×atan(0.0749242972006264)-π/2
    2×0.0747845679328702-π/2
    0.14956913586574-1.57079632675     		φ = -1.42122719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60786321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.419555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42122719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.430320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59969 KachelY 59796 2.60786321 -1.42122719 149.419555 -81.430320
    Oben rechts KachelX + 1 59970 KachelY 59796 2.60795909 -1.42122719 149.425049 -81.430320
    Unten links KachelX 59969 KachelY + 1 59797 2.60786321 -1.42124148 149.419555 -81.431138
    Unten rechts KachelX + 1 59970 KachelY + 1 59797 2.60795909 -1.42124148 149.425049 -81.431138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42122719--1.42124148) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42122719--1.42124148) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.42122719) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149012093539949 × 6371000     		do = 91.0242578767164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.42124148) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148997963067247 × 6371000     		du = 91.0156262565533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42122719)-sin(-1.42124148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149012093539949-0.148997963067247)×R²
    abs(2.60795909-2.60786321)×1.41304727019342e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41304727019342e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41304727019342e-05×40589641000000     		ar = 8286.60024762226m²